Kaks ja pool meest
Elulähedasi matemaatikaülesandeid on keerukam koostada, kui esmapilgul näib.
On mõistetav, et pärast üheksa aastat kestnud matemaatikaõpinguid peaks noor inimene oskama elulähedasi ülesandeid lahendada. Mis kasu õpingutest muidu oleks? Samas peab eluline ülesanne olema mõistliku sisuga ja eakohane. Ei saa unustada ka väga lihtsat tõsiasja: mis on igapäevane Tallinnas elavale lapsele, võib olla Kükametsa poisile-tüdrukule täiesti uus ja ehmatav.
Kas Piusa koobastes oled käinud?
Kord küsinud ühes Tallinna koolis klassijuhataja kuuenda klassi õpilastelt, kas nad oma vanematega Piusa koobastes on käinud. Selle peale öelnud üks poiss, et Itaalias pole nad perega veel käinud, eelmisel suvel sai ära käidud ainult Prantsusmaal ja Hispaanias.
Kuuenda klassi tasemetöös tuli leida lennuki keskmine kiirus marsruudil Tallinn-Hurghada. Egiptuses käinud lapsi tabab äratundmisrõõm, teised on pisut ehmunud: mis koht see Hur… Hurghada selline on? Arvutamise asemel hakatakse hoopis kõrvalisel teemal mõtisklema. Just selle tasemetöö ajal hakkasid mõned lapsed õpetajate sõnul nutma, sest lisaks võõrapärasele linnanimele kasutati ülesandes ka harjumatut mõõtühikut km/min.
Põhikooli eksamil oli ülesanne, kus busside väljumisajad olid antud tabelina, nagu võib neid kohata igas Tallinna bussipeatuses. Kui mingil marsruudil liigub päevas 15–20 bussi, siis on tabel ülevaatlik ja ka ülesanne asjakohane. Huvi pärast vaatasin, kui palju läheb busse minu lapsepõlvekoju. Buss läheb sinna Rakverest teisipäeval, neljapäeval ja laupäeval ning Rakvere poole sõidab ülejäänud nädalapäevadel. Arvata võib, et sealsed lapsed pole tabelikujulist busside väljumise graafikut näinudki. Maalapsed satuvad sellist elulähedast eksamitööd lahendades linnalastega ebavõrdsesse olukorda.
Vahel paneb muigama, kui kõrgel ametipostil olijal pole õrna aimugi, kui palju maksavad esmatarbekaubad. Kas ta peabki teadma, kui maksab üldjuhul kaardiga? Nii ei viitsi lapski arvutada, kui palju ta peab 20 eurost tagasi saama, sest … ta maksab samuti kaardiga. Õnneks klassitoas pangaautomaati pole, küll aga on digitahvel, millel saab kaubad asendada piltidega ning seejärel kaubandusülesandeid lahendada. Mugavam on muidugi lahendada ülesandeid õpikust või töövihikust, kuid nendes peale elulisuse palju muud polegi ja matemaatikat tuleb tikutulega otsida.
Kust võtta elulisi ülesandeid?
Olen kuulnud kurtmist, et lahendaks selliseid ülesandeid küll, aga pole sobivaid ülesandekogusid ega teisi abimaterjale. Õige jutt, aga kes keelab mõned ülesanded ise koostada või lasta neid lastel endil teha! Minu kooliajal mingeid elulisi ülesandeid matemaatikatundi poolvägisi ei poogitud ja need tekkisid justkui iseenesest. Juhtus keegi tundi hilinema, oli õpetajal kohe ülesanne olemas. Aevastas keegi liiga valjusti – jälle ülesanne. Mäletan neid senimaani.
Elulisi ülesandeid koostades selgub mõnigi kord, et õigeid vastuseidki on rohkem kui üks. Näiteks lihtne ülesanne: Jukul on esmaspäeva hommikul 2 eurot ja Jüril 4 eurot ning mõlemad poisid saavad oma vanemate käest taskurahaks 1 euro päevas. Mitme päeva pärast saavad poisid koos minna kinno märulifilmi vaatama, kui kinopilet maksab 6 eurot? Võib ju arvata, et Jukul on reede hommikul 6 ja Jüril 8 eurot ja nad saavadki kinno minna. Nutikas poiss või tüdruk ütleb aga kohe, et neljapäeval on Jukul üks euro vajaminevast rahast puudu ja Jüril niisama palju üle. Poisid saavad raha kokku panna ja ongi kinopiletid käes. Järgmisel päeval maksab Juku võla Jürile ära.
Toredad ülesanded! Kuid kahtlen, kas nendega on mõistlik eksamil õpilaste teadmisi kontrollida. Eriti veel siis, kui õigeks peetakse ainult eksamikomisjoni pakutud vastust ning alternatiividest ei taheta kuuldagi.
Ohtlikud teemad
Eluliste ülesannete koostamisel ei tohi õpilasi riivata. Tore oleks koostada ülesandeid, kus tegelasteks on isa, ema ja vanem vend ning kutsuke Kirp, aga mõnelgi lapsel on ema juba kuus aastat Soomes tööl ja oma isa nime ta ei teagi. Teda kasvatab hoopis vanaema.
Samuti võib tekkida probleeme palgaülesannetega. Riigieksamiülesannet lahendades olin hämmingus, kui selles pakuti toimetaja palgaks 700 eurot. Sellise palga eest on head toimetajat väga raske leida, kui tal just osaline tööaeg ei ole. Kolleegid juhtisid aga kohe mu tähelepanu sellele, et mõnes meie linnas saab kaks inimest kokku 700 eurot. Selliste ülesannete puhul on kõige kavalam jätta amet mainimata, siis pole ohtu, et lahendaja hakkab ülesande lahendamise asemel mõtisklema selle üle, miks keegi nii suurt (väikest) palka saab.
Lõbusad „näpukad” ja kolisevad „ämbrid”
Näiliselt reaalseid olukordi kirjeldavad ülesanded võivad osutuda vahel ääretult totakateks. Mõnikord on ülesande koostaja seda taotlenudki, et saada teada, kuivõrd kriitiliselt oskavad lapsed mõelda ja kas saadud tulemusi ka analüüsitakse või pannakse vastus kirja nii, nagu kalkulaator näitab. Ühes põhikoolile mõeldud ülesandekogus annab lehm ühes kuus 3000 liitrit piima. Et olen ise maal üles kasvanud ja lehma lähedalt näinud, siis tean, et selliseid imeelukaid meie maal pole. Maailma kõige suurema piimaanniga lehmad on Iisraelis ja nendegi aastane piimatoodang jääb 10,5–12 tonni piiridesse. Maalapsed naeravad selliste ülesannete puhul, aga linnalapse jätab lehmade teema külmaks. Mõni neist võib arvata, et tavalised lehmad annavad piima ja paremat tõugu isendite käest saab jogurtit.
Mõned, juba eelmise sajandi keskpaigas väljamõeldud ülesanded on väga pikaealised. Ikka sõidetakse mootorpaadiga 30 km allavoolu ja siis pöördutakse kohe tagasi ning … . Võrrandi koostamise ja lahendamise koha pealt hea ülesanne, aga miks on vaja sõita 30 km ja siis kohe tagasi pöörduda?
Päris tore on ka ülesanne, kus mees peab minema jalgsi 15 km kaugusel asuvasse raudteejaama ning tund aega pärast tema lahkumist ruttab naine talle järele, sest … mees oli piibu koju unustanud.
Ülesande lahendamisel võib laps teha näpuvea ja saada ilmselgelt absurdse vastuse. Üks kuuenda klassi poiss elas 12 km kaugusel koolist ja ma uurisin, kui kaua ta jalgrattaga kooli tuleb. Umbes pool tundi, vastas poiss. Lasksin tal siis arvutada keskmise kiiruse ja oh üllatust – pisike poiss sai oma sõidukiiruseks 240 km/h. Palusin arvutusvea üles otsida. Poiss hakkas peaaegu nutma – ise ju õpetasite, et tee pikkus tuleb kiirusega jagada. Lõpuks sai noormees oma veast aru. Asjadest arusaamiseks on vahel kasulik enne ka eksida.
Mõni ülesanne on nii koostatud, et oodataksegi lahendaja tehtud viga, et oleks, mille üle arutleda. Näiteks ülesanne, kus peremehe ja tema koera vanuste summa on 50 aastat ja vanused suhtuvad nagu 4 : 1. Missugune on vanuste suhe 30 aasta möödudes. Hakatakse arvutama, ja pealegi veel väga usinalt, arvestamata aga, et koerad ei ela kunagi 40 aasta vanuseks.
Kui pargi korrastamiseks oleks 20 mehel kulunud terve tööpäev, siis mitut meest oleks vaja läinud kaheksa korda väiksema pargi korrastamiseks? Nii mõnigi tubli poiss või tüdruk leiab, et kaks ja pool meest saavad selle tööga kenasti hakkama.
Heale lugejale üks väike ülesanne mõtisklemiseks. Vanaemal on kaks pudelit kampripiiritusega. Kui avatud on suurem pudel, siis on kampri lõhna tunda kuue meetri kauguselt, kui aga väiksem pudel, siis viie meetri kauguselt. Kui kaugelt võib tunda kampri lõhna, kui mõlemad pudelid on avatud?