Teisendamise aeg hakkab matemaatikas ümber saama

Ene-Margit Tiit

„Palun vabandust, mul on kodused ülesanded lahendamata, sest kaotasin ära oma logaritmide tabelid” – niisugust vabandust, mida võis gümnaasiumis kuulda viis-kuuskümmend aastat tagasi, ei oska tänapäeval ka kõige nutikam lullilööja välja mõelda.

Tõsi, logaritmide tabelid ja arvutuslükatid on õppevahendite hulgast kadunud ja neid asendavad juba ammu eluõiguse võitnud taskuarvutid ja nutitelefonid, nii klassis kui ka paljude õpilaste kodus abistavad rehkendajaid laua-, süle- ja tahvelarvutid. Tänapäeval ei ole kooli programmis ruutjuure arvutamise algoritmi ja vaevalt suur osa õpetajaidki seda teab või mäletab.

Õpilased ei tarvitse otsida matemaatikatunnis neljakohalistest tabelitest trigonomeetriliste funktsioonide väärtusi ja neid täpsuse suurendamiseks interpoleerida. Kõik need asjad saab kätte näpuliigutusega arvutist.

Ometi võib gümnaasiumi matemaatikatunnis tunda ikka veel logaritmitabelite hõngu.

Milleks see teisendamine?

Kui mõnikümmend aastat tagasi korraldasin seni viimaseid matemaatika sisseastumiseksameid Tartu ülikooli, tekkis mul vilunud õpetajatega eriarvamus mõne ülesande lahenduse teemal. Mina arvasin, et üliõpilaskandidaat vääris ülesande eest kõrgeimat punktisummat, kui ta oli õige vastuse leidnud, õpetajad aga pidasid vajalikuks punktisummat vähendada, kui vastusele ei olnud antud nn normaalkuju. Miks on avaldise mõni kuju õigem kui teine?

Arvestatav hulk tänaseski koolimatemaatikas tehtavatest teisendustest pärineb oma eesmärgipüstituselt tabelite kasutamise ajast.

Miks on (7√3)/3 õigem kui 7/√3? Vastus pärineb käsitsi rehkendamise ajast: √3 lähendava kümnendmurruga on märksa lihtsam teha korrutus- kui jagamistehe. Iseküsimus on, kas irratsionaalsust kaotav teisendus on vajalik arvuti kasutamisel. Ma arvan, et vastupidi – kui kasutame ükskõik missugust arvutit (sh kalkulaatorit), on peamine vigade vältimise tee tehete arvu vähendamine.

Kui logaritmitabelid oli veel põhiline arvutusvahend, siis oli suur tükk tööd igasuguste avaldiste teisendamine logaritmitavale kujule. Selle töö eesmärk oli aga selge – logaritmide abil arvutamine oli märksa lihtsam ja kiirem kui kõigi korrutamise, jagamise ja astendamise tehete käsitsi tegemine, kusjuures murruliste astendajate puhul üldjuhul muud võimalust ei olnudki.

Tänapäeva õpilasele on aga niisuguste teisenduste eesmärki väga raske selgitada. Milleks kõik need tegurdamised, irratsionaalsusest vabanemised ja korrutiseks teisendamised? Kindlasti on õpilasi, kes oskavad tunda sellest rõõmu, kui keeruline avaldis pärast pikka pusimist lihtsaks läheb – aga kõigest hoolimata ei aita see kaasa matemaatika kui eluks vajaliku teaduse mõistmisele ja tunnetamisele.

Teisendamine on vajalik (või vähemalt õigustatud) siis, kui selle tulemusena muutub keerukas avaldis lihtsamaks ja hoomatavamaks. Aga mida öelda ülesande kohta „Tegurda x—y”. Seda juhtumit, kus avaldis (√x-√y)(√x+√y) oleks esialgsest vahest eelistatavam, selgem või läbinähtavam, ei oska ma küll hästi ette kujutada. Ometi ei peaks matemaatikatunni eesmärk olema lihtsa asja keerulisemaks tegemine.

Side igapäevaeluga

Ma ei vaidlusta teisendusi kui selliseid gümnaasiumi matemaatikakursuses. Kindlasti on teisendamise oskus vajalik, kuid tuleb tõdeda, et „teisendamise matemaatika” aeg hakkab ümber saama. Igal sammul, mida õpilane teeb, peab olema selge eesmärk ja teisendamine ei peaks matemaatikas üldjuhul olema eesmärk, vaid vahend. Samuti ei väitle ma logaritmfunktsiooni vastu koolikursuses – sellel on oluline roll protsesside modelleerimisel, kuigi logaritm kui arvutamise abivahend on ammu tõhusamatega asendatud.

Ometi – teisendustel (mida keerulisem, seda vahvam) võiks olla oma koht matemaatika olümpiaadidel ja mujalgi, kus osalevad õpilased, kes oskavad matemaatilistest mõttekäikudest rõõmu tunda. Aga seda annet – nagu ka musikaalsust – ei ole kõigile võrdselt antud.

Mida peaks koolimatemaatika selle asemel sisaldama, mida oleks tarvis igale poisile-tüdrukule, kelle edasine elutee võib kulgeda matemaatikast kaugelt mööda? Oma soovitused selles valdkonnas tegin koostöös arvutipõhise koolistatistika töörühmaga, mis on teinud väga head tööd. Kindlasti tuleks selles osas edasi tegutseda, see kursuselõik peaks jõudma piloteerimise staadiumist kõigisse koolidesse, sh kutsekoolidesse.

Mida aasta edasi, seda selgemaks saab vajadus mõista ja kasutada andmeid, sealhulgas esialgu müstilisi suurandmeid. Siin on tarvis oskusi, kus ei aita ka kalkulaator taskus. Miljardite ja miljonite sassiajamine ajakirjanduses on muutunud juba huumoriteemaks. Tänapäeval pole nii tähtis, kas inimene oskab peast öelda, kui palju on 12 korda 13. Pigem võiks ta teada, kui palju on 1000 korda 1000. Tänapäeva elus hästi toime tulemiseks on oluline osata hinnata väärtusi, orienteeruda mikro- ja makromaailmas esinevates suurustes.

Kaugeltki kõigil juhtudel pole vajalik ega võimalikki arvutada protsesside tulemusi täpselt, piisab ligikaudsetest hinnangutest. Ka see on tarkus, mille õpilane peab matemaatikatunnis omandama.

Pole vist tarvis korrata tõsiasja, et õppeaine, sh matemaatika, muudab õpilastele meeldivaks ja vastuvõetavaks mõtestatus ja eesmärgipärane side igapäevaeluga.