Teeme matemaatika käega katsutavaks!

Miks muutub matemaatika paljudele lastele 5.–6. klassis vastumeelseks? Sest sealt alates on õpilased sunnitud õppima pähe suure hulga reegleid ja algoritme, ilma et neil tekiks sisulist arusaama uutest mõistetest ning tehetest. TLÜ õppejõud Marina ja Jüri Kurvits teavad rohtu, mis selle vastu aitab – näitlikustamine.

Jan Amos Komenský kirjutas ligi neli sajandit tagasi oma teoses „Meeltega tajutav maailm piltides“, et lapsed peavad õppides vaatlema, katsetama, meisterdama, joonistama, kombineerima jne. Lihtsustatult öeldes: lapsed peavad saama õpitavaid asju käega katsuda. Paraku on ainekavad mahukad ja õpetajad väidavad, et mängimiseks pole neil aega.

Tallinna ülikooli matemaatika didaktika õppejõud Marina ja Jüri Kurvits püüavad teha oma üliõpilastele selgeks vastupidist – just asjadega „mängimine“ aitab aega kokku hoida ja ainekava omandada. Ja nii on neil matemaatika metoodika kabinetis riiulite kaupa õppevahendeid, mida magistrandid saavad käega katsuda, nendega katsetada, kombineerida jne. Enamik magistrantidest on tegevõpetajad ja nad võtavad Kurvitsate seminarides läbi mängitud õppevahendid kohe kooli kaasa, et lasta oma õpilastel niisamuti käegakatsutavate asjadeta katsetada, et neil tekiks õpitavatest teemadest sisuline arusaam.

Kust tuleb nii suur huvi käega katsutavate näitlike õppevahendite vastu? Uuringud kinnitavad, et paljudel õpilastel tekivad matemaatika suhtes viiendas-kuuendas klassis negatiivsed emotsioonid just pärast tutvumist murdarvudega, selgitab Jüri Kurvits. Murdarvudega seoses on nad sunnitud õppima pähe suure hulga reegleid ja drillima algoritme, ilma et neil tekiks sisulist arusaama uutest mõistetest ning tehetest. Arusaamatud asjad aga muutuvadki vastumeelseks.

Jüri Kurvits: „Viienda ja kuuenda klassi matemaatika ainekavas on üldse palju lastele raskeid teemasid: harilik murd, kümnendmurd, protsent, pindalade arvutamise valemid jms. Paljud täiskasvanudki ei saa selle kõigega hakkama. Seepärast arutasime kolleegidega ja magistriõppes käivate õpetajatega, kuidas seda perioodi õpilastele kergemaks muuta, ja leidsime, et on vaja neid väga raskeid teemasid põhjalikumalt näitlikustama hakata. Matemaatika didaktika labor ongi sellega juba põhjalikult tegelnud.“

Põhjalikum näitlikustamine on selge suund ka Inglismaal, Ameerikas, Saksamaal, Soomes jm. Seal ilmub isegi raamatuid ja ajakirju selle kohta, kuidas matemaatikat õpilastele silmaga nähtavaks ja käega katsutavaks muuta.

Esimene suur katsumus – harilik murd

Kõige rohkem valmistab õpilastele peavalu harilik murd, märgib Jüri Kurvits. Ta rõhutab, et selle teema puhul ei tohi ainult tehteid drillida, vaid hariliku murruga tuleb tegelda mitmesuguses kontekstis. Õpilastele on vaja luua keskkond, kus nad saavad harilike murdudega seotud teemasid füüsiliste esemetega katsetada, neid omavahel võrrelda, neid üle kaaluda, kokku sobitada, joonistada jne. Distantsõppe ajal saab aga paljusid katsetusi teha arvutiekraanil, näiteks Opiqu, Foxcademy, Desmosi materjale kasutades.

Püüame näidata harilikke murde võimalikult paljudes ja erinevates kontekstides, et õpilastel hakkaks tekkima vaist või aimdus sellest, mis see murd siis õieti on, selgitab Jüri Kurvits.

Marina Kurvits selgitab, et õpetajad kasutavad hariliku murru õpetamisel näitlikustamist küll, kuid mitu korda vähem, kui lapsele intuitsiooni tekkimiseks vaja on. Näiteks võetakse ketas, lõigatakse see võrdseteks sektoriteks ja murru olemus olekski justkui selgitatud. Hariliku murru näitlikustamisele, katsetamisele ja läbimängimisele tuleks kulutada neli-viis täispikka tundi, toonitab ta.

Marina Kurvits: „Harilik murd on täiskasvanulegi keeruline. Kuidas näiteks väljendada hariliku murruga seda, et klassis on iga poisi kohta neli tüdrukut. Kas poisse on siis veerand või viiendik klassist? Ja kuidas seostub harilik murd kümnendmurruga ja miks ta just nii seostub?

Lastele ei saa siin vastata, et see lihtsalt on nii. Või kuidas seostub harilik murd kellaaegadega? Miks kaalub pool ühest asjast niisama palju kui veerand teisest asjast? Need on kõik lapsele väga keerulised küsimused ja tal peab olema võimalus need olukorrad ja variandid kõik läbi katsetada, enne kui ta hakkab samal teemal ülesandeid lahendama ja tehteid tegema.“

Hästi läbimõeldud mäng on kõige järgneva vundament

Õpetajad on nõus, et asjade käega katsumine tuleks kasuks, kuid nad väidavad, et ainekavad on nii mahukad, et näitlike materjalidega mängimiseks ei jää lihtsalt aega. Sellega seoses meenutab Jüri Kurvits rahvalikku ütlemist: „Pean kiiresti jooksma, sest mul pole aega hobuse selga hüpata.“

Jüri Kurvits selgitab, kuidas näitlikust ja mängulisest etapist loobumine matemaatika õppimist kahjustab. Ta ütleb, et see on instrumentaalne õppimine, kui õpilane omandab väga konkreetseid matemaatikaoskusi mingi väga konkreetse ülesande lahendamiseks. Näiteks valemeid tüüpülesannete lahendamiseks. PISA tulemused näitavad, et tüüpülesandeid lahendavad Eesti õpilased väga hästi. Samas tippõpilasi, kes mõistavad matemaatikat sügavuti, on meil vähe. Miks? Sest ülesannete valemi järgi lahendamine ei arenda õpilasel matemaatilist mõtlemist – see on liiga lihtne. Areng tuleb pingutusest. Laps peab tõesti pingutama, et areneda, aga õpetaja peab olema selle pingutuse väga täpselt disaininud.

Marina Kurvits selgitab, et õpilased on hakanud juba ise ka tajuma, et neile õpetatakse matemaatikas „instrumendi oskusi“, sest olemas on arvuti- ja nutitelefoni äpid, mis lahendavad matemaatikaülesanded ise ära. Õpilased pildistavad harilike murdudega tehteid nutitelefoniga ja Photomathi rakendus näitab neile telefoni ekraanil lahenduskäike ja vastuseid. Õpilased küsivad siis õpetajalt, miks nad peavad õppima seda, mida arvutiprogramm oskab paremini. Õpetaja vastab, et mõtlemise arendamiseks. Tegelikult õpivad õpilased lihtsalt valemeid kasutama, saamata aru, kuidas ja miks teatud valem töötab.

Instrumentaalne õpe toob endaga paratamatult kaasa drillimise, lisab Jüri Kurvits. Õpilased peavad lahendama ülesandeid palju, et asi „selgeks“ saaks. Drillimine aga matemaatilist mõtlemist ei arenda. Üksluise kordamise asemel on vaja vaadata harilikku murdu väga erinevatest vaatenurkadest ja eri kontekstis ning palju asju läbi mängida, et lapsel seostuks hariliku murruga võimalikult erinevaid kogemusi. Ka tänapäeva ajuteadus kinnitab, et mida rohkem seoseid ühe asja külge tekib, seda arusaadavamaks asi muutub ja seda paremini seisab ka meeles.

Mis aga juhtub, kui õpilane on õppinud ainult valemi kasutamist ja kui ta valemi ära unustab? Siis hakkab ta väga lihtsaid vigu tegema. Näiteks viiendas-kuuendas klassis tuleb tihti ette, et laps liidab murru lugejad ja nimetajad omavahel ning saab ½ + ½ vastuseks 2/4 ehk ½, Kuna ta asja olemusest aru ei saa, on ta sellise tulemusega rahul. Seevastu harilike murdude olemust mõistnud õpilane mõtleb, et ühele poolele teist poolt juurde liites ei saa vastuseks olla endiselt pool.

Sihipäraselt suunatud mäng on matemaatikaeelne õppimine

Mõned matemaatikaõpetajad siiski ütlevad, et visuaalne etapp ja käte külge panemine pole üldse matemaatika. Otseselt polegi, möönab Marina Kurvits. Kuid nii tuuakse laps talle tuttavate asjade maailma, et haakida nende tuttavate asjade külge uusi ja tundmatuid. Komenský üks soovitus oli ju samuti liikuda tuntult tundmatule. Nii ei tohi matemaatika õpetamisel lihtsate ja tuntud asjadega tegelemise etappi ära jätta, sest sellisel juhul ei saa uut ja keerulist materjali mitte millegi külge kinnitada.

Jüri Kurvits: „Kui koolid viiruse tõttu suleti, siis küsiti „Suud puhtaks“ saates ja hiljem ka „Terevisiooni” otse-eetris meie käest, kas lapsevanemad peavad nüüd oma lapsi kodus ise õpetama. Meie vastasime, et ei pea, sest lapsevanemad pole õpetamist õppinud. Eriti kehtib see matemaatika puhul. Näiteks ülikoolis õpetamist õppinud õpetaja teab, et iga teemat tuleb õpilastele õpetada neljal tasandil: visuaalsel, arvulisel, algebralisel, sõnalisel. Lapsevanem pole nii süsteemseks lähenemiseks valmis, isegi osa õpetajatest ei ole.

Marina Kurvits lisab, et eriti põhjalik peabki olema matemaatika õppimise visuaalne etapp. Kuid see ei tähenda loosungit „Veelgi rohkem PowerPointi esitlusi!“, vaid lastele tuleb luua võimalus näitlikustavate vahenditega töötada, käed külge panna, tegutseda. Hariliku murru puhul tähendab see, et õpilased peavad tervikut osadeks lõikama ja osadest uusi tervikuid kokku kleepima, nad peavad osi ja tervikuid joonistama, arvutiekraanil õigesse kohta lohistama, lisaks peavad nad oma arusaamu selgitama ja põhjendama.

Station rotation – hariliku murru neli vahejaama

Näitlikke õppevahendeid tuleb kasutada väga läbimõeldult ja eesmärgipäraselt, vastasel juhul võibki osutuda kõik lihtsalt mängimiseks, mis lapsele midagi juurde ei anna, hoiatavad Marina ja Jüri Kurvits. Mängijal peab olema alati ka mingi ülesanne.

Hariliku murru puhul kasutavad nad väga selge süsteemi loomiseks Läänes populaarset Station rotation’i ehk vahejaamade mudelit, kus lapsed peavad pärast igas jaamas mängimist kirja panema, mis ülesannet nad täitsid ja mis mida nad mängides õppisid.

Mäng käib nii, et õpilased jagatakse nelja rühma ja iga rühm läheb oma vahejaama ehk tegevuskeskusse. Praegu saab neljaseid rühmi teha näiteks Zoomis. Suures klassis võib teha ka viis-kuus vahejaama, et õpilaste rühmad jääksid nelja-viieliikmelisteks. Väikesed rühmad on head selle poolest, et seal hakkavad õppijad üksteist ise õpetama ja aitama, mis on kõige tõhusam õppimisviis üldse.

Kui rühmadel on esimeses vahejaamas kõik ülesanded lahendatud ja töölehed täidetud, liiguvad kõik korraga edasi järgmisse jaama – iga kümne minuti pärast toimub rotatsioon. Mis järjekorras lapsed vahejaamu läbivad, seda otsustab õpetaja.

Neljandas vahejaamas on õpetaja. See on hea, sest nii käivad kõik õpilased tema juurest läbi ja saavad õpetajale selgitada, kuidas nad näitlike vahenditega tehtud katsete ja proovimiste põhjal harilikust murrust aru saavad. Ülioluline on õppimise protsessi toetamine ja edasiviiva tagasiside andmine. Seda ei tohi unustada ka praegu toimuva distantsõppe puhul. Igat õpilast tuleb toetada ning saata, st olla temaga kaasas matemaatika õppimisel. Õpetaja vahejaamas on ka arvuti ja puutetundlik tahvel, mille peal saavad õpilased geomeetrilisi kujundeid õigetesse kohtadesse lohistada. Õpetaja juures on seega online-õpe, mis on olnud eriti aktuaalne viimased kaks kuud.

Marina Kurvits toonitab, et harilike murdude igas vahejaamas on ülesandeid, mille puhul õppija ei arvuta mitte midagi, vaid jõuab lahendusteni katsetamise, proovimise ja vaistu abil – nagu palju raamatuid lugevad õpilased teevad grammatika kontrolltöid keelevaistu abil. Näiteks avastab õppija, et ¼ millestki mahub täpselt kaks korda sellesama asja ½ sisse. Ülesanne tuli välja! Ja ta täidab töölehe.

Igas vahejaamas on esindatud eri õppimise viisid: visuaalne-katseline, arvuline, algebraline, sõnaline. Samas on välja töötatud ka lotomäng, kus on need neli tasandit koos: õpilane peab seda mängides teadma, et numbrid 1/4 on seesama mis sõnad „üks neljandik“ ja ka veerand tordilõiku jne. Mängijad võivad aga puuduvaid vasteid ise lotokaartidele ka juurde joonistada. Lisaks on iga vahejaama ülesanded erineva raskusastmega, kusjuures on ka väga lihtsaid ülesandeid, et igaüks tunneks eduelamust. Võimekamate pärast pole vaja muretseda – nemad teevad lihtsad ülesanded ruttu ära ja jõuavad kiiresti oma võimetele vastavale tasemele.

On ka ebaharilikke ülesandeid. Õppijad saavad purgid, kaalud ja muu vajaliku, et võlupulbrit valmistada. Nad võtavad näiteks kolmandiku sinisest pulbrist, kaheksandiku valgest ja viiendiku punasest pulbrist jne. Muuhulgas märkavad nad, et ½ ühest pulbrist võib kaaluda vähem gramme kui 1/8 teisest pulbrist. Tulemus kontrollitakse üle QR-koodiga. Kuna tegemist on võlupulbriga, valesti kaalutud segu „plahvatab“.

Õpetaja vahejaamas on puutetundlik tahvel ja õpilased lohistavad sellel etteantud kujundeid õigetesse kohtadesse. Kolm-neli õppijat tuleb puutetundliku tahvli juurde ja üheskoos hakatakse mõtlema, kuidas seda ülesannet lahendada.

Ärge kartke katsetada!

Kui Station rotation’i mängivad TLÜ matemaatika magistrandid, siis ütleb Marina Kurvits neile ikka: „Aga ärge kartke, kui õpilastel läheb see alguses aeglaselt. Las õpilased katsetavad, eksivad, katsetavad uuesti – las nad leiavad ise lahenduse. Siis hakkavad nad uskuma, et saavad ka edaspidi matemaatikast aru, ja nii läheb õppimine juba palju optimistlikumalt.“

Jüri Kurvits lisab: „Laps peab omandama ka katsetamise julguse, sest matemaatikaga saavad üldse tegelda vaid väga julged inimesed!“

Marina ja Jüri Kurvitsa juures magistriõppes käivad matemaatikaõpetajad on kinnitanud, et nende õpilastele Station rotation’i ehk vahejaamade mudeliga õppimine väga meeldib. Kui tund hakanud läbi saama, siis on nad tahtnud alati edasi teha.