DESMOS – matemaatika õppimine katse-eksituse meetodil

16. okt. 2020 Ljudmilla Roždestvenskaja Tallinna Kesklinna vene gümnaasiumi haridustehnoloog, matemaatika ja arvutiteaduse õpetaja, koolitaja, blogija - DESMOS – matemaatika õppimine katse-eksituse meetodil kommenteerimine on välja lülitatud
Ljudmilla Roždestvenskaja pälvis õpetajate päeval aasta gümnaasiumiõpetaja tiitli ja seda eeskätt uuenduslike õppimisviiside rakendajana ning nende propageerijana.

Me peame tooma matemaatika õppimisse katsetamist, avastamist ja loovust, sest tüüpülesannete lahendamine ei arenda õpilaste matemaatilist mõtlemist piisavalt.

Kuidas muuta matemaatika õppimine visuaalsemaks ja tulemuslikumaks? Seda võimaldab graafiline veebikeskkond Desmos, kus õpilane saab digitaalsete objektide ja mudelitega vabalt katsetada, nendega ka lihtsalt mängida, et iseseisvalt matemaatilise mõtlemise juurde jõuda.

Miks on vaja mängulist matemaatikat?

Enamikus koolides peab õpilane oskama matemaatikatunnis valemeid ja algoritme taasesitada, ise seejuures teadmata, milleks tal neid vaja on. On aeg sellest needusest vabaneda. On aeg päriselt uskuda, et matemaatika võib olla väga põnev katsetamise õppeaine ja et see on just niisugusena kõige tõhusam vahend õpilase matemaatilise mõtlemise arendamiseks.

Et koolimatemaatika peab muutuma, seda mõistavad kõige paremini aastakümneid matemaatikat õpetanud õpetajad, kes näevad probleeme seestpoolt – nad teavad, mis tunnis veel töötab ja mis enam mitte. Kuid koolimatemaatika uuendamise vajalikkusele mõtlevad ka inimesed, kes näevad matemaatika õpetamist n-ö väljastpoolt. Nemadki on märganud, et meie koolides kasutatakse laialdaselt juba ammu läbikukkunud strateegiaid ja meetodeid. Väljastpoolt vaadates paistab meie koolimatemaatika probleem teravamgi, seepärast eriti ei üllatagi, et matemaatika õpetamise uusi lähenemisi on asunud välja töötama just need inimesed, kes pole kooliga otseselt seotudki.

Mitte õppimine, vaid tegutsemine

Desmose graafiline keskkond lähtub põhimõttest, et õpilane peab lahendama probleeme ja saama seda teha katsetades, eksides ja avastades. Desmos rõhutab, et õpilane peab probleemide lahendamiseks aktiivselt tegutsema. Isegi Desmose sõnakasutus rõhutab tegevust – kui tavalises õpikus kasutatakse sõna „õpib“, siis Desmoses on igal pool õppimise asemel „tegutseb“. Desmose tööjuhendites on ka sõna „ülesanne“ asemel igal pool „tegevus“ (activity – ingl „aktiivsus“, „tegevus“). Mingi teema mõistmiseks või omandamiseks peab õpilane läbi tegema teatud liiki tegevusi ehk erinevate asjadega katsetama. Õpetaja jälgib oma arvutist, kui edukalt tema õpilased katsetavad, ja aitab neid, keda vaja.

Ja veel üks Desmose eripära: matemaatika mudelitega katsetades ei tööta õpilane siin välja definitsioone, vaid tegevusskeeme, mida ta saab järgmiste tegevuste sooritamisel kasutada. See tähendab, et kõigepealt õpilane katsetab ja proovib, kuni taipab, mida ja mis järjekorras tuleb teha, ning definitsioonid tulevad alles pärast seda.

Õpetaja abi pole Desmoses õppijale nii oluline kui klassiruumis, sest Desmose keskkond on interaktiivne ja annab õpilasele ka ise abi: vihjetega, enesekontrolli võimalustega ja muu interaktiivse tagasisidega. Kui õpetaja peab vajalikuks, siis saab ta Desmose keskkonda ka omaenda koostatud tegevusi üles panna – selliseid, mis lähtuvad just tema klassi õpilaste oskuste tasemest ja eripärast.

Meie matemaatikaõpetajad võiksid Desmose programmi võimalustega tutvuda ja neid matemaatika õpetamisel kasutada – muidugi õigel ajal, õiges kohas ja õiges mahus. Paarsada Eesti matemaatikaõpetajat on asunudki juba Desmost kasutama. Enamik neist töötab vene, kuid üksikud ka eesti õppekeelega koolis. Desmos võiks olla aga kõigis Eesti koolides laialt kasutusel. Ehk innustab matemaatikaõpetajaid Desmosega julgemalt katsetama fakt, et mitmed selle programmi ülesanded on juba EIS-is üleval?

Desmose tegevused on loonud USA uuendusmeelsed matemaatikaõpetajad ja seega tegutsevad õpilased seal inglise keeles, kuid paljud Desmose tegevuste kirjeldused on Eestis õpetajatele kättesaadavad vene ja mingil määral juba ka eesti keeles. Vene keelde on neid tõlkinud matemaatika- ja informaatikaõpetajate ühendus Signum. Desmose tegevuste vene- ja eestikeelsed kirjeldused erinevad mõnevõrra ingliskeelsetest, kuid Desmoses ongi mõeldud, et iga õpetaja lisab sinna midagi sellist, mida just tema õpilased vajavad.

Õpilast huvitavad mäng ja väljakutsed

Matemaatikatunnis on alati olnud ja on praegugi põhirõhk ülesannete lahendamisel, nende lahenduskäikude ja vastuste analüüsimisel. Desmos aga võimaldab õppida matemaatikat nii, kuidas paberil pole võimalik – Desmoses saab õpilane tegutseda. Ta saab kujundeid ekraanil suurendada/vähendada ning samal ajal jälgida, kuidas muutuvad arvandmed. Ta saab raskusi kaalukaussidele panna, kuni need on tasakaalus. Tal on võimalik kujundit muuta selle kujundi valemit muutes jpm. Seejuures saab õpilane Desmoses väga lihtsalt naasta oma tegevuse ükskõik millisesse varasemasse etappi ja alustada uuesti otsast peale. Desmoses ei karda õpilane ka eksida ja vigu teha, sest kui ta teeb vale sammu, annab tagasisidesüsteem talle sellest märku ja vea saab kohe ära parandada. Õpilane saab oma vastust ka ise testida – näiteks eri mudelite parameetreid ja tingimusi muutes ning võrreldes.

Et matemaatikat korralikult omandada, on vaja harjutada ja kõige paremini sobivad harjutamiseks just probleemide lahendamisega kaasnevad tegevused, katsetused ja mängud. Eriti sellised, kus õpilane peab oma kujutlusvõimet teritama, seoseid ära arvama, kiiresti reageerima. Desmoses rakendatakse õpilaste kujutlusvõimet ja mänguhasarti vajalike õppematerjalide omandamiseks. Desmoses saab õpilane mängida märklaudade, kaalude, kangide ja muuga, mis on talle arvutimängudest juba tuttavad, kuid mida ta kasutab Desmoses õppimiseks.

Tegevus „Märklaua sättimine“

Õpilane katsetab, andes x-ile ja y-ile erinevaid väärtusi, ning jälgib, kuidas märklaud vastavalt asukohta muudab, kuni jõuab koordinaattelgede keskpunkti. Niimoodi katsetades aimab õpilane iseseisvalt x- ja y-telje tähendust. https://teacher.desmos.com/activitybuilder/custom/563c039dccdd442e107a0ce2

Desmoses lahendab õpilane probleeme tegevusi sooritades, katsetades. Niimoodi tegutsedes liigub ta samm-sammult matemaatika ainekava nende mõistete, definitsioonide, valemite ja algoritmide juurde, millega tavaliselt lahendatakse õpiku tüüpülesandeid. Traditsioonilises õpikus algavad tüüpülesanded sageli sõnadega „määrake“, „arvutage“ jne. Teiste sõnadega „Kasutage valemit!“, „Kasutage algoritmi!“. Desmoses on valemi pimesi rakendamise asemel katsetamine, proovimine, eksperimenteerimine. Õpilasele antakse võimalus definitsioon talle etteantud tegevuse abil ise avastada.

„Härra Stadeli pikkuse väljaselgitamine“

Desmose selle tegevuse käigus peab õpilane tulema mõttele, et mõõtühikuks võib olla ka plastiktops. Seega tuleb uurida, mitme topsi kõrgune härra Stadel on. Sealt edasi tekib küsimus, kui kõrge on üks tops. Kui suur ta käes hoides tundus? Selle tegevuse käigus kogutud andmed kantakse tabelisse ja neid demonstreeritakse ka graafikuna. Sealt edasi jõutakse diskreetse ja pideva graafiku mõisteni.

Kui pikk on härra Stadel? Seda välja selgitades liigub õpilane võrrandite suunas. Härra Stadel on 20 topsi pikkune ehk x = 20y. Ühtlasi tekib siin seos aritmeetilise jada mõistega. https://teacher.desmos.com/activitybuilder/custom/5ba8c32a2a7b37689fc77ca7

Desmose tegevused valmistavad õpilast järk-järgult ette iseseisvaks loominguliseks tegevuseks. Desmose õpilastele mõeldud tegevused on väga erinevad, alates valikvastuste hulgast sobiva leidmisest kuni digitaalsete tööriistade iseseisva kasutamiseni. Desmose tegevused on ka erineva raskusastmega. Alustuseks pakutakse õpilastele miniväljakutseid, kuid järk-järgult muutuvad need keerukamaks. Eesmärk on, et õpilane õpiks iseseisvalt kasutama tööriistu, mida tal on üha keerukamate ja komplekssemate tegevuste sooritamiseks vaja.

Tegevus „Näo joonistamine“

Desmose keskkonnas on palju tegevusi, mille käigus peavad õpilased joonistama matemaatilisi objekte, kasutades selleks etteantud punkte, lõike, koordinaate, võrrandeid, võrratusi. See on funktsioonide abil joonistamine. (Tavalise joonistamisega pole sellel vähimatki ühist.) Algul joonistavad õpilased Desmoses antud funktsioonide abil lihtsamaid objekte, näiteks ainult sirgjooni, kuid edaspidi muutuvad tegevused üha keerukamaks. Kui õpilased on piisavalt tegevusi edukalt sooritanud, peavad nad tegema mingi loomingulise töö. Kes on suutnud eelnevaid tegevusi sooritades rohkem teadmisi ja oskusi omandada, teeb tavaliselt keerukama loomingulise töö.

Näo joonistamine lineaarfunktsioonide valemeid muutes. Näo püstised põsejooned näevad võrranditena välja nii: x = -2 {0 < y < 4} (vasak) ja x = 2 {0 < y < 4} (parem). Põsejoonte asukoha muutmiseks peab õpilane muutma neid võrrandeid. https://teacher.desmos.com/activitybuilder/custom/57071a80e51ffd0909962916?lang=et
Nii erinevaid „nägusid“ on osanud õpilased Desmose lineaarfunktsioonide võrranditega katsetades joonistada.

Kuidas Desmose loomingulisi töid hinnata?

Desmose tegevuste, katsetuste ja proovimiste käigus valminud loominguliste tööde hindamisel peetakse silmas kahte aspekti. Muidugi vaadatakse õpilase oskust lugeda koordinaattelgedel asuvaid graafilisi elemente, samuti neid objekte sinna õigesti paigutada, nihutada, funktsioonivõrrandit muutes „joonistada“. Teisalt vaadatakse ka õpilase loovat lähenemist, näiteks seda, kui väljendusrikas on tema poolt võrrandite abil joonistatud nägu. Desmoses on lihtne „joonistada“ objekte, millel on vähe detaile, kuid samas võib just lihtne kujund mõjuda väga väljendusrikkalt.

„Mondriani ristkülikute joonistamine“

Õpilased saavad arvutiekraanil hiirega ristkülikuid lohistades kokku panna Mondriani teosega sarnase pildi. Õpilane peab katsetamise ja proovimise teel ise avastama, kuidas on võimalik ruudustikul asuvaid punkte liigutada ning seal asuvate objektide asukohta ja suurust muuta. Samal ajal on tal võimalus iseseisvalt kontrollida oma mudeli „õigsust“ ehk võrrelda seda visuaalselt valmis tööga (vasakul).

Kujunda etteantud ristkülikute proportsiooni ja suurust, nii et tulemuseks oleks Mondriani tööga sarnane pilt. Tegevuse autorid Anna Ossipenko ja Ljudmilla Roždestvenskaja. https://teacher.desmos.com/activitybuilder/custom/5bfbd4d3d45d644703160c2f

Näeme, et Desmos pakub võimalusi, millest me varem ei osanud õpetajatena unistadagi. Õpilane saab liuguri abil geomeetrilist kujundit ekraanil muuta, jälgides samal ajal, kuidas muutuvad ka sellele kujundile vastavad võrrandid, tabelisse kantud andmed jms. Ja vastupidi – võrrandeid ja arve tabelis muutes saab jälgida, kuidas vastavalt muutub geomeetriline kujund.

Tänu Desmose uutele võimalustele saavad õpetajad ja õpilased keskenduda puhtalt matemaatikale ja seda ka ühtki programmeerimiskeelt oskamata.

Matemaatika, informaatika ja kunsti lõiming Desmoses

Kui soovime lõimida matemaatikat, informaatikat ja kunsti, siis sobib väga hästi Piet Mondriani hilisem looming, kus ta kasutab rohkesti ristkülikuid. Kuni ristkülik on õpilase jaoks liikumatu objekt paberil või klassitahvlil, pole see tema jaoks midagi erilist. Aga kohe, kui paneme sellesama ristküliku Desmose keskkonnas koordinaattelgedele, muutub ta õpilase jaoks elavaks matemaatikaks, sest arvutiekraanil saab õpilane ristkülikuid liugurite ja valemite abil suurendada ja vähendada, pöörata, liigutada, tükkideks lõigata ja tükkidest uuesti kokku panna jne. Ja seda kõike lihtsalt hiireklõpsu või nupuvajutusega. Samal ajal saab õpetaja oma arvutist jälgida, kuidas tema õpilaste katsetused ja otsingud ristkülikutega edenevad, kui hästi nad oskavad kasutada liugureid ja teisi digitaalseid tööriistu, kuidas nad oskavad oma tegevust ise hinnata jms. Ühtlasi näeb õpetaja, mis tasemel tema õpilased ristküliku teemat valdavad.

Piet Mondriani hilise loomingu põhjal saab 4.–5. ja osaliselt ka 6. klassile üles ehitada terve matemaatika minikursuse. Käsitleda saaks näiteks järgmisi teemasid.

  • Geomeetrilised kujundid ja konstruktsioonid.
  • Kujundid koordinaattelgedel.
  • Ümbermõõt.
  • Pindala.
  • Osad, murdosad.
  • Koordinaadid tasapinnal.
  • Modelleerimine: mõõtkava, paigutus.

Desmose interaktiivses keskkonnas saavad õpilased iseseisvalt uurida mistahes geomeetrilise kujundi (trapets, ring jne) omadusi ning seda mitte meeldejätmiseks, vaid probleemi lahendamiseks, kusjuures sageli definitsioone jms teadmata. Õpilased ei avasta siin definitsioone, vaid seaduspärasusi.

Matemaatika informaatikaga lõimimiseks saab kasutada Desmose geograafilisi kaarte, kuhu õpilane saab „elavaid“ kihte peale kanda. Näiteks saab õpilane kanda Eesti kaardile õhutemperatuurid linnades. Nendest andmetest saab ühtlasi koostada tabeli, mida saab omakorda muuta diagrammiks jne. Nende võimaluste kasutamine eeldab, et õpilane oskab kaardilt, tekstist jm andmeid leida. Seega saab Desmose abil õpilase funktsionaalset lugemisoskust arendada.

Desmose edasiarendamine

Mitmed Eesti matemaatika- ja informaatikaõpetajad on ka ise Desmose keskkonna jaoks tegevusi koostanud ja õpilasedki sellesse kaasanud. Prototüüpidena oleme kasutanud ingliskeelseid materjale. Oleme võtnud sealt mõned elemendid, meile huvitavad ideed ja kooditükid ning kasutanud neid omaenda uue materjali peal.

Kuid Desmose tegevuste loomine võtab aega. Näiteks tegevuste illustreerimiseks on vaja rohkesti pilte üles laadida. Siin ongi keskkooliõpilased meile appi tulnud. Nii on meil koostöös 10. klassi õpilastega valminud matemaatika õppimiseks järgmised Desmose tegevused.

  • Karupoeg Puhhi ja tema sõprade seiklused (4. klassile).
  • Matemaatiline reis teose „Karupoeg Puhh“ tegelastega (5.–6. klassile).
  • Karupoeg Puhh koordinaatteljestikul
  • Karupoeg Puhh mängib golfi.
  • Geomeetrilised teisendused „Karupoeg Puhhi“ tegelaste näitel.

Kuidas Desmos levib?

Programmi Erasmus+ raames on meie koolis, Tallinna Kesklinna vene gümnaasiumis käinud palju Euroopa Liidu riikide õpetajate delegatsioone. Näiteks eelmisel sügisel külastas meie kooli 34 õpetajast koosnev grupp, mille liikmed olid pärit Portugalist, Saksamaalt, Hispaaniast, Türgist, Horvaatiast, Lätist, Serbiast ja Poolast. Sellised külalised tohivad alati vabalt meie tunde külastada ja õppeprotsessis õpilastena osaleda.

Just selle külaskäigu ajal viisid meie matemaatikaõpetajad Anna Ossipenko ja Larissa Sulina 7. klassis tunde läbi Desmose keskkonnas. Kuidas külalised sellele reageerisid? Erilist vaimustust polnud märgata, kuid see oli ka mõistetav, sest delegatsioon ei koosnenud ainult matemaatikaõpetajatest. Kedagi ju ei üllata, kui lapsed istuvad arvuti taga. Kui külalistel endal Desmose kogemust pole, on neil selle põhimõtete uudsust raske mõista. Kuid mõningast positiivset vastukaja on alati. Näiteks üks Türgi ja üks Horvaatia õpetaja olid Desmose keskkonnast väga huvitatud. Nad esitasid asjatundlikke küsimusi ja selgitasime neile, mille poolest erineb Desmos teistest veebipõhistest õpikeskkondadest. Äkki hakkab Desmose kasutamine just niimoodi, väikeste sammudega ka Eestis levima?


VEEL DESMOSE KOHTA


KÜSIMUS JA VASTUS

Kuidas olete Desmost kasutanud?

Marika Anissimov.

Marika Anissimov, Viljandi gümnaasiumi matemaatikaõpetaja:

Kevadisel distantsõppe perioodil hakkasid ka eesti õppekeelega koolide matemaatikaõpetajad aktiivselt kasutama Teacher Desmose keskkonda. Sellest tulenevalt otsustasid Desmose tegijad tõlkida keskkonna eesti keelde. Kui enne distantsõpet oli Desmosel vaid neli töökeelt, siis nüüd on ka eesti keel. Praegu on keskkond tõlgitud juba üheksasse keelde.

Eesti keelde on tõlgitud ka mõned Desmose meeskonna loodud aktiivsuste (tegevuste) kogud. Aga kevadel hakkasid eesti õppekeelega koolide õpetajad ka ise Desmose tegevusi tõlkima. Koondasime need ühte tabelisse, et oleks lihtsam leida: http://bit.ly/desmoskogu. Nii eesti- kui venekeelse kasutajaskonna jaoks on loodud FB-grupp Eesti Desmos, kus saab teemakohast infot. Eesti Desmose kasutajad leiab lingilt https://www.facebook.com/groups/185085532539780.

Lisaks tegevustele on õpilastel ja õpetajatel võimalik kasutada Desmose keskkonnas kalkulaatoreid, näiteks graafikute joonestamiseks graafikakalkulaatorit https://www.desmos.com/calculator?lang=et.

Minu loodud eestikeelseid Desmose materjale leiab ka E-koolikotist.

Lisan ka ühe pildi kevadest, kus mu õpilased pidi tegema loomingulise töö, kasutades sirgjooni, ringjooni või muid joone võrrandeid.

Kairi Mustjatse.

Kairi Mustjatse, Martna põhikooli matemaatikaõpetaja

Desmose programmiga puutusin esimest korda kokku distantsõppe kevadel ja siis proovisime seda koos kuuenda klassi õpilastega. Ei läinud päris nii, nagu lootsin, lapsed jäid programmi kasutamisega pisut hätta, sest tegime kõik distantsilt. Kui oleksime esimesed tunnid koos klassiruumis teinud, oleks ilmselt paremini sujunud.

Nüüd sügisel olen kaheksanda ja üheksanda klassi õpilastega mõned tunnid Desmosega teinud ja kõik on sujunud suurepäraselt. Õpilastele on meeldinud, ka neile, kes matemaatikas kõige andekamad ei ole.

Mulle endale meeldib, et õpilased saavad Desmose keskkonnas töötada omas tempos, mina õpetajana näen oma arvutist, kes kus on, mis probleem kellelgi on, ja saan kohe aidata. Veel on hea, et Desmose keskkonnas on palju suurepäraseid tunde eri keeltes. Kõike neid saab kasutada, saab ka tõlkida, sisu endale meelepärasemaks muuta. Ja loomulikult saab Desmose keskkonnas ka ise oma õpilastele õppevahendeid luua.