Mis teeks matemaatika õpilastele huvitavamaks?

Õpilane peab matemaatikast aru saama. Väga tähtis on õpetaja ja õpilaste hea töösuhe. Natuke huumorit teeb tunni alati huvitavamaks.

Seoses matemaatika erilehekülgedega korraldas Õpetajate Lehe toimetus vestlusringi, kus osalesid TLÜ matemaatika didaktika õppejõud ja praktikajuhendaja Tiiu Kaljas, TLÜ didaktik ja prantsuse lütseumi õpetaja Annika Volt ning Keila kooli matemaatikaõpetaja Madis Loorents. Alljärgnevalt lühike kokkuvõte nende mõtetest.

Uusi teemasid tuleb selgitada neljal tasandil

Tiiu Kaljas: Olen oma loengutes juhtinud üliõpilaste tähelepanu sellele, et matemaatika uusi teemasid ja mõisteid tuleb vajadusel selgitada neljal eri tasandil. Üks nendest on numbriline, arvuline või eluline tasand, kus matemaatika mõisteid selgitatakse kas mingi arvu vallast tulenevate seaduste või elulise näitega. Teine on visuaalne tasand, kus vaadeldakse jooniseid ja tehakse praktilisi töid, kasutatakse GeoGebrat jt IT-vahendeid. Kolmas on sõna tasand, kus õpilased sõnastavad seaduse, mõiste või reegli. Neljas on algebra tasand, kus mõisteid esitatakse matemaatiliste avaldiste abil.

Kui selgitaksime matemaatika mõisteid kõigil neljal tasandil, kusjuures alustaksime alati kahest esimesest, oleks matemaatika õpilastele palju arusaadavam, huvitavam, mõtestatum. Paraku olen tihti näinud, et praktikant sõnastab tunni algul matemaatika mõiste või arvutamise reegli ja siirdub siis kohe uue mõiste rakenduse juurde. Sobivad selgitused koos lihtsamate arvuliste näidetega või visuaalsete selgitustega jäävad heal juhul tunni lõppu. Kui klassis on palju matemaatikast huvitatud ja võimekaid õpilasi, siis võib teatud juhtudel ka mõiste definitsioonist alustada, kuid elulised näited ja visuaalsus teema lahtimõtestamisel on ka nn formaalse õpetuse juures vajalikud. 

Meie matemaatikatundides arvutatakse liiga palju. Näiteks viiendas klassis korrutatakse ja jagatakse väga suuri naturaalarve, kuigi tegelikus elus tehakse neid tehteid kalkulaatoriga. Naturaalarvude hulga korral on ju kõige olulisem, et õpilane tunneks hästi arvu koostist, oskaks arvu lugeda, tunneks järkude nimetusi, aga sellele pööratakse kohati liiga vähe tähelepanu.

Harilikke murde õppides tehakse tihti tehteid murdudega, mille nimetaja on ülearu suur. Õpikutes on selliseid „raskekaalulisi“ ülesandeid minu arvates liiga palju. Õpetajad peaksid võtma julguse kokku ja valima õpikust oma õpilaste tasemele vastavaid arvutamisülesandeid. Ühist nimetajat soovitan leida loogilise arutluse teel, mitte formaalset reeglit kasutades.

Kirjalik arvutamine peaks vähenema ja moodustama kogu arvutamiseks ettenähtud ajast ja mahust kolmandiku, kalkulaatori abil arvutamine teise kolmandiku ja peastarvutamine viimase kolmandiku. Mida vähem kirjalikult arvutame, seda rohkem peame arvutama peast. Peast arvutades rakendab õpilane arvutamise põhimõtteid ja seadusi oluliselt paremini kui kirjalikul arvutamisel.

Peastarvutamisega seostuvad ka ligikaudsed ja hinnangulised arvutused. Mul on pangakaardil nii palju eurosid, kas ma saan selle summa eest osta neid ja neid asju. Mõtlen hindadele ja teen ligikaudse arvutuse. Teiste riikide matemaatikaõpikutes on selliseid ülesandeid üsna palju. Kasulik ja vajalik on ka iga arvutus- ja tekstülesande puhul hinnata, missugune vastus oleks usutav, loogiline, võimalik.

Algebraliste teisenduste juures ei tohi samuti raskusastet liiga kõrgeks viia. Kahjuks on õpikud just lehekülgede kaupa nn raskekaalulisi avaldisi täis, kusjuures iga ülesanne on näide üheainsa eriolukorra kohta. Noortel õpetajatel on väga raske sealt õpilastele jõukohasid ülesandeid välja valida. Õpilane peab eelkõige suutma algebralist avaldist ise koostada, talle peavad teisendused põhimõtteliselt arusaadavad olema. Valemit peaks ta kasutama siis, kui on selle ise tuletanud ja saab aru, et nii on tema töömaht natuke väiksem.

Mõõtmise teemadega saab suurepäraselt muuta matemaatika õpetamist eluliseks, praktiliseks ja piltlikuks. Näiteks võiks lasta õpilastel lumest ühe kuupmeetri ehitada. See ei ole liiga lihtne ülesanne. Olen praktikatundides näinud, et õpilased ei tunneta mõõtühikuid. Kui neil palutakse näidata ühe meetri pikkust lõiku, näidatakse üllatavalt erinevaid pikkusi, mistõttu neil on raskusi ka ruutmeetri ettekujutamisega jne.

Kõige kahjulikumad on sellised ülesanded, kus kolmnurga pindala arvutamiseks on aluse ja kõrguse pikkused ette antud. Kolmnurga pindala mõiste omandamiseks peab õpilane ise oskama mõõta vastavate külgede pikkused, oskama selgitada, kuidas kolmnurga pindala tuleneb ristküliku pindalast. Meil minnakse liiga ruttu üle formaalsele õpetusele ehk valemite rakendustele. Probleemid ruudu ümbermõõdu ja pindala mõiste omandamisel lähtuvad just sellest.

Matemaatika probleeme ja ülesandeid lahendades tuleb kasutada võimalikult erinevaid teid. Parem on lahendada ühte ülesannet neljal eri viisil kui nelja erinevat ülesannet. Õpilasi tuleb suunata lahendusi ka ise leidma.

Matemaatika õppekirjandus on ajale jalgu jäänud, kuid põhjalikult otsides leiab nii Koolibri kui ka Avita õpikutest ikkagi selgitusi ja ülesandeid kõigi nelja tasandi jaoks, samuti eri tasemega klassidele. Kahjuks pole eri tasandid aga uue mõiste selgitamisel selgelt välja toodud. Õpetaja ülesanne on need üles leida.

Töövihik peaks aitama matemaatikat paremini mõista, mõistete omandamist kergemaks muutma. Tegelikult on aga töövihikud pigem täiendavate ülesannete kogud, et õpilased veelgi rohkem arvutaksid.

Oluline on matemaatikapädevuse arendamine teistes õppeainetes. Võtame näiteks protsentülesannete lahendamine. Praegu küsib isegi mõni nutikas laps seda lahendades: „Kas ma pean nüüd jagama või korrutama?“ See näitab, et protsendi olemus on jäänud tal lõpuni tabamata. Kui õpilane lahendaks protsentülesandeid ka teiste ainete tundides, peaks ta hakkama sellest mõistest paremini aru saama ja ka matemaatika õppimise vastu rohkem huvi tundma.

Õpetajal peab olema oma õpilastega hea töösuhe

Annika Volt: Meil on kombeks rõhutada, et matemaatika õppimise teevad huvitavaks parimad metoodilised võtted. Tegelikult töötavad need ainult siis tõeliselt hästi, kui õpetajal on oma klassiga hea töösuhe. Just see muudab matemaatika õpilastele huvitavamaks ja sellest arusaamise kergemaks. Töösuhe õpilastega areneb edasi siis, kui matemaatikaõpetaja suhtleb õpilastega ka väljaspool matemaatikatunde, juhendab mõne õpilase loovtööd, juhib huviringi, veab matemaatilist mõtlemist arendavat majandusmängu vms. Sellise hea suhte korral lahendavad õpilased meelsasti ka raskemaid ülesandeid. Nad ütlevad, et korraks on raske, aga küll hiljem läheb jälle kergemaks.  

Olen nõus Tiiu Kaljasega, et õpilased peavad matemaatikast aru saama – pärast seda tekib juba huvi matemaatikat õppida. Mõned õpilased kardavad matemaatikat. Seda hirmu saab vähendada lihtsaid elulisi näiteid ja analoogiaid pakkudes. Tüüpülesannetega ei tohi liialdada, pigem tuleks aeg-ajalt pakkuda harjumuspärastest rööbastest väljapoole jäävaid ülesandeid. Näiteks paluda õpilastel lihtsustamise teema juures näidata, et viie suvalise järjestikuse naturaalarvu summa jagub viiega. Aeg-ajalt taolisi ülesandeid saades harjuvad nad mõttega, et matemaatikas tuleb nuputada, ja julgevad rohkem kaasa rääkida ja katsetada.

Tõestused teevad matemaatika samuti huvitavamaks, kuigi õpilasele võib see alguses tunduda võõras. Kui küsisin hiljuti kaheksanda klassi õpilastelt, kuidas teoreemi tõestamine neile tundus, vastasid nad: „See on teistmoodi matemaatika.“ Matemaatika peab õpetajale endale väga meeldima, siis nakatab see ka õpilasi. Kui lähen suure entusiasmiga klassi ette ja teatan, kui põnev teema nüüd tuleb ja et mulle endale see väga meeldib, siis näen, kuidas suur osa õpilasi tuleb õhinaga kaasa. Aga olen tunni alguses rõhutanud ka õpitava teema tähtsust maailmas, öeldes, et seda rasket matemaatika teemat kasutab NATO, selle abil tõstavad riigid oma majanduslikku võimekust ja inimeste palka jne. Pärast sellist sissejuhatust õpitakse ka suurema huviga.

Natuke huumorit tuleb alati kasuks

Madis Loorents: Olen eelkõnelejatega täiesti nõus! Ka minu kogemus ütleb, et mida parem töösuhe mul õpilastega on, seda paremini on nad nõus igasuguseid matemaatilisi seiklusi läbi tegema, ja seda isegi siis, kui nad alguses midagi aru ei saa.

Natukene nalja teeb ka töösuhte paremaks. Kui alustame uue teemaga, küsivad õpilased alati, kus neil seda elus vaja läheb. Kui olin neile mõned korrad naljaga pooleks selgitanud, kuidas võib uue teema oskamisest piimapoes kasu olla, siis oleme jõudnud selleni, et iga teema juures küsitakse, kuidas on see seotud poest piima ostmisega. Ja kogu klass oskab vastata, et ilma matemaatikata on raske head töökohta leida ja poest piima osta. Hiljuti seostasin neile lineaarvõrrandeid piima ostmisega: piimapudel asub ühel sirgel, käsi liigub pudeli poole mööda teist sirget jne. Õpilasele tegi see palju nalja, aga teema saadi samuti selgeks.

Tõsisemalt olen õpilastele selgitanud, et matemaatikat tasub õppida ka igaks juhuks, sest me ei tea, mis elu toob. Näiteks Madis Millingule olevat venitatud gümnaasiumis matemaatikas kolm välja, sest ta ei kavatsenud matemaatikaga edaspidi mingit tegemist teha. Kuid siis sai temast kaitseliidu liige ja ta pidi hakkama trigonomeetriat õppima, sest pidi välja arvutama, missuguse nurga all maapinna suhtes peab kahuritoru olema, et mürsk märki tabaks.

Kahjuks on õpilasi, kes kardavad matemaatikat nii palju, et ei üritagi sellest aru saada. Üks suur hirm on kontrolltöö, teine eksam ja kolmas kartus eksida. Hirm matemaatika ees väheneb, kui õpilased saavad lahendada oma huvidega seostatud ülesandeid. Näiteks ühele mu õpilasele meeldib arvutimäng GTA 5, kus on vaja politsei eest põgeneda jms. Tema sai ülesande, kus vanaema Vilmi röövis öösiti poode ja pidi pärast iga röövi saagist 2,3% oma autojuhile andma. See õpilane ütles mulle hiljem, et tänu sellistele ülesannetele ei teki tal enam nii palju mõtteseisakuid ja kontrolltööd kardab ta ka vähem.

Sarnast taktikat kasutab Allar Veelmaa oma õpikutes, kus tekstülesannete tegelastel on naljakad nimed ning ülesannete sisu humoorikas. Õpilastel võtab pinget maha ka see, kui matemaatika juurest ajalukku põigata, näiteks Gaussi koolipõlvest rääkida.

Õpikutes häirivad mind „amneesiaülesanded“, kus õpilastele peab meelde jääma, mitu meetrit nad ostsid punast, mitu sinist, kollast, valget jne riiet, ja mis oli iga kanga hind. Kindlasti ei ole need elulised. Ühes ülesandes hoidis Juku vasakus käes 40 ja paremas 60 melonit ning küsiti, mitu melonit Jukul oli. Lasksin õpilastel hoopis arvutada, kui suured olid Juku käed, et ta sai nii palju meloneid hoida.

Arvan, et avastusõpe on see, mis teeb õpilastele matemaatika palju põnevamaks, kuid sellega tuleb alustada juba lasteaias ja selle jaoks on vaja ka õppematerjale.