Matemaatika Montessori lasteaias

Montessori pedagoogika, mille itaallanna Maria Montessori möödunud sajandi esimeses pooles välja töötas, on tuntud nii mõnegi asja poolest. Esmajoones iseloomustavad seda austus lapse vastu, talle iseseisvuse ning tegutsemisvabaduse võimaldamine, lapse arengu individuaalne toetamine. Silme ette kerkivad avatud riiulid kõikvõimalike õppevahenditega, millest ehk tuntuimad on meeltevahendid, nagu nupusilindrid, roosa torn ja muu säärane. Pisut vähem on laiemasse teadvusse jõudnud Montessori lasteaiarühma kroonijuveeliks olev matemaatika aineala, mis esindab suurepäraselt üht olulist Montessori vahendite põhimõtet: abstraktse esitamist käegakatsutaval kujul. 

Montessori matemaatika algus

Kui Maria Montessori oma esimese lasteaia avas, õpetas ta töölisperedest tulnud lastele enda ja oma ümbruse eest hoolitsemist ning pakkus neile mängimiseks tavalisi mänguasju. Peagi avastas ta, et väikesed lapsed on palju õpivõimelisemad ja õpihimulisemad, kui seni arvati. Lapse arengut tõukavad tagant sisemised jõud, mis ajendavad teda oma meeli arendama, omandama teda ümbritsevat keelt, kultuuri ja kombeid ning õppima, kuidas maailm toimib. Kui muidu arvati, et lugemine ja rehkendamine on pigem koolilaste pärusmaa, siis laste iseseisvat tegutsemist jälgides mõistis Maria Montessori, et soodne aeg lugemise, kirjutamise, aga ka matemaatika jaoks on hoopis varem. Juba nelja-viieaastased võiksid nii lugeda ja kirjutada kui ka suurte arvudega arvutada. 10 või 20 piires rehkendamine on neile liiga piirav. 

Mida siis koolieelses eas lastele õpetada? Ja kuidas seda teha, kui nende aju toimib hoopis teisiti kui koolilastel ning täiskasvanutel? Neid ei saa õpetada, vaid neile tuleb luua keskkond, kus nad ise õppida saaksid. Kuidas-küsimusele oli Maria Montessoril vastus juba varasemast kogemusest meeltevahenditega olemas: abstraktne nähtus, näiteks kümnendsüsteem, on vaja esitada käegakatsutaval kujul, sest kuni kuueaastane laps õpib peamiselt oma meelte kaudu, ise asju kogedes. Mida-küsimusele aitasid vastata algkooliõpetajad, kes teadsid täpselt, millised teemad lastele koolis raskusi valmistavad. Nendeks olid näiteks hulga ja arvu omavahel seostamine, tehted järkarvudega jne. 

Maria Montessori teadis juba, et kuni kuueaastased lapsed omandavad teadmisi ja oskusi nn vastuvõtliku meele abil, mis on aju omadus ümbritsevast keskkonnast infot omandada. Vastuvõtlik meel koos tundlikkusperioodidega, mis on teatud ajaaknad soodsaks õppimiseks, aitavad lapsel oskusi ja teadmisi omandada otsekui lennult, ilma pingutuseta. Lisaks oli ta märganud, et kõigil inimestel, ka väga väikestel lastel, on olemas matemaatiline meel – Blaise Pascalilt laenatud mõiste. See ei tähenda mitte suurt numbrihuvi, vaid teatud omadust, mis on olemas kõigil inimestel. Tänu matemaatilisele meelele suudab inimene

• mõelda loogiliselt ning abstraktsel tasandil;
• kasutada kujutlusvõimet;
• hinnata ja kalkuleerida;
• vaadelda ja järeldusi teha. 

Niisiis oli tema järgmine samm mõelda välja õppevahendid, mille abil saaks laps ise matemaatikat õppida – ja mitte pelgalt midagi pähe tuupida, vaid tõeliselt mõista. Ta võttis kasutusele ka teiste väljatöötatud vahendeid, näiteks Edouard Séguini loendamistahvlid.

Vahelepõikena lisan, et Montessori õpetajate (ehk juhendajate) koolitusel kogevad paljud ahaa-elamust, kui nad laste õppevahendite kasutamist õppides esimest korda elus mõnest kooliajal peavalu tekitanud matemaatika põhimõttest aru saavad. 

Montessori matemaatika kuus rühma

Montessori lasteaias, kus on rühmas koos 2,5−7-aastased lapsed, alustatakse matemaatikaga umbes 4-aastaselt. Muidugi võib lapsel olla loendamishuvi ka varem ning siis saab pakkuda talle eelmatemaatika tegevusi, kuid enamasti ei ole lapse aju varem niivõrd abstraktsete teemade mõistmiseks valmis. Kuni laps hulka ja arvu veel seostada ei suuda, on arvude järjest loendamine rohkem nagu luuletuse esitamine ega toeta kuidagi matemaatilise mõtlemise arengut. 

Matemaatika õppevahendid on jagatud kuude rühma, millest esimene on kõige alus ning viimane juba sedavõrd keerukas, et selleni kõik lapsed lasteaiaeas ei jõuagi, vaid tegelevad nende teemadega kooliastmes. Mõne teema puhul ei ole võimalik enne selle täielikku omandamist järgmise rühma juurde edasi minna, mõnel puhul saab aga paralleelselt teiste teemadega edasi liikuda. Kuidas, millal ja mis järjekorras seda kõike teha, õpib Montessori juhendaja pikal ja põhjalikul juhendajakoolitusel.

I rühm – arvud 1–10 

Matemaatika esimene rühm, mis on pealtnäha väga lihtne, on tegelikult kogu edasise matemaatika alus, mistõttu ei tohi selle tähtsust alahinnata. On äärmiselt oluline, et lapsele matemaatika õpetamine algaks hulkadest, mitte numbrisümbolitest. Numbrisümboleid tutvustame lapsele alles siis, kui hulkade põhimõte on juba selge. Eelajaloolise inimese teadvuses eksisteerisid kogused üks ja mitu. Läks palju aega, kuni mitut hakati hulga järgi eristama ning nimetama. Arusaamine, et mitu üksikut moodustavad koos mingi omaette nimetusega hulga, ei ole pisemale lapsele veel jõukohane, kuid nelja-aastasele juba küll. Arvu- ning loendamispulkade abil saab laps aru, et ühest suurem hulk ei ole lihtsalt rida üksikuid, mida loendada, vaid et need moodustavad koos uue terviku, oma nimetusega hulga. Esimese rühma vahenditega õpib laps tundma ka numbrisümboleid, omandab nulli kontseptsiooni ning paaris- ja paaritute arvude eristamise oskuse.

II rühm – kümnendsüsteem 

Kui laps on esimese rühma matemaatika hästi omandanud, on aeg liikuda edasi kümnendsüsteemi juurde, mis on kõigi kümnest suuremate arvudega toimetamise alus. Järkarvude liitmiseks-lahutamiseks, korrutamiseks-jagamiseks on vaja tunda arvu järke, mis on väga abstraktne teema ning valmistab paljudele koolilastele raskusi. Kui aga viieaastane laps on kümnendsüsteemi põhimõtted oma vastuvõtliku meele abil ning käegakatsutaval kujul juba lasteaias omandanud, on tal koolis sellega palju lihtsam jätkata. Tänu koolieelses eas laotud vundamendile on tal võimalik ka abstraktseid matemaatilisi kontseptsioone tõeliselt mõista, mitte pelgalt teatud mustreid pähe õppida. Kümnendsüsteemi toimimist ehk arvu järke ning tehteid järkarvudega õpib laps Montessori rühmas peamiselt kuldsete helmeste abil. Kõik järguühikud on selgelt eristatud: üheline on üksik helmes, kümneline on kümnest helmest koosnev ketijupp, sajaline on sajast helmest koosnev ruudukujuline plaat ning tuhandeline tuhandest helmest kokku pandud kuup. Viimased kujundid ei ole juhuslikud: sajaplaat on 10² ehk kümme ruudus ja tuhandekuup on 10³ ehk kümme kuubis. Järkarvudega arvutamise puhul on kõige keerulisem osa ehk üleminekud, mida kuldsete helmestega on jällegi väga lihtne mõista. Mängude ja harjutustega õpib laps veel enne päris tehete juurde jõudmist seda, kuidas kümne ühiku täitumine tähendab järgmise järguühiku kasutamist: näiteks kümme ühelist tähendab üht kümnelist. 

Toon ühe näite kuldsete helmestega arvutamisest. Kui laps soovib näiteks liita arvud 3725 ja 5528, toob ta kuldsete helmeste komplektist esmalt ühe ning siis teise arvu jagu kuldseid helmeid (nt esimese arvu jaoks kolm tuhandelist, seitse sajalist, kaks kümnelist ja viis ühelist). Seejärel tõstetakse kahe arvu jagu helmeid kokku ja loetakse üle, alustades kõige väiksemast järgust. Lapsel on ees 13 ühelist, mida ta loendama hakkab. Kui ta jõuab kümneni, võtab ta kümme helmest ning vahetab need kuldsete helmeste komplekti juures ühe kümnelise vastu, mille ta siis oma liidetud kümneliste kuhja lisab. Alles jääb kolm ühelist. Edasi loeb ta üle kümnelised, mida on koos juurde lisatuga kokku viis. Sajalisi on aga 12, mis tähendab, et kümme neist on vaja jälle ühe tuhandelise vastu vahetada. Alles jääb kaks sajalist. Tuhandelisi on aga kokku üheksa. Ja nii saabki viieaastane laps kätte vastuse: 3725 + 5528 = 9253. 

Arvu järkude kõrval õpib laps värviliste numbrikaartide abil järkarvude esitamist numbritega. Kuldsetest helmestest, mis esitavad arvu järke väga käegakatsutaval viisil, astume sammhaaval abstraktsema esituse suunas märgimängu ja punktimängu abil. Märgimängu käigus õpib laps tehteid ka ise kirja panema: järkarvude õigesti üksteise alla kirjutamise oskus on ju äärmiselt oluline. Punktimäng võimaldab liita palju arve korraga. Oluline on silmas pidada, et teise rühma vahenditega tehteid tehes ei pane me rõhku ega suuna lapse tähelepanu sellele, kui ta näiteks loendamiseksimuse tõttu vale vastuse saab. Tähtis on, et ta omandaks kümnendsüsteemi järkude toimimise põhimõtted: et kümne ühiku täitumisel algab uus järk, et järgud tuleb kirjutada üksteise alla kohakuti, et enamasti alustame tulemuse loendamist paremalt ehk ühelistest jne. 

III rühm – arvud 1–1000

Selle rühma vahenditega töötab laps kümnendsüsteemi rühmaga paralleelselt. Esmalt omandab laps arvud 11–19, edasi kuni 99 ning siis juba 100 ja 1000-ni. Nagu ikka, tutvub laps esmalt hulkadega, siis alles numbrisümbolitega ning seejärel saab hulga ja sümboli omavahel ühendada. Kolmandasse rühma kuulub loendamiskettide komplekt, mis on Montessori rühma külaliste jaoks sageli üks lummavamaid vahendeid. Nende kettide abil harjutab laps nii järjest kui ka hulga kaupa loendamist. Lühikesed ketid esindavad arvude 1–9 teist ning pikad ketid kolmandat astet, mis tähendab, et kui laps enda arvates lihtsalt loendab ilusaid värvilisi helmeid, siis tegelikult laob ta oma ajus astendamise vundamenti. Näiteks lühike viiekett koosneb 25 helmest, mis on omakorda jagatud viie helme kaupa kokku pandud ketijuppideks. Pikas viieketis on 125 helmest, mis on samamoodi viiestest ketijuppidest kokku pandud, kuid iga 25 helme täitumist tähistab üks suurem rõngas. Loendades märgib laps helmeid väikeste numbrinoolekestega, mis aitavad järge pidada ning astmeid tajuda. Lasteaialapsele me siiski astendamist otseselt ei õpeta, kuid jällegi aitavad need käegakatsutavad tegevused tal hiljem koolis seda väga abstraktset teemat paremini mõista. 

IV rühm – tehete mällu talletamine

Kui eelnevalt mainisin, et õiged vastused on vähem olulised kui põhimõtte mõistmine, siis neljanda rühma puhul on õige tulemuse saamine väga oluline. Selle rühma eesmärk on talletada mällu põhitehted, mis on kogu ülejäänud arvutamise aluseks. Tehted, mis eri vahendite abil kinnistades lapsele pähe jäävad, on ühekohaliste arvude liitmine, 18 piires lahutamine ühekohalise lahutatava ja ühekohalise vahega, klassikaline korrutustabel 100 piires ning jagamine ühekohalise jagaja ning ühekohalise jagatisega 81 piires. 

Iga tehteliigi puhul alustame jälle käegakatsutavalt erinevate helmestega ning seejärel liigume edasi abstraktsemate tabelite suunas. Viimane samm on kõigi tehete peast tegemine. Saadud vastuseid saab laps üle vaadata kontrolltabelist: on väga oluline erinevus, kas laps saab end ise kontrollida või toob tema vead välja täiskasvanu. Esimene annab võimaluse eneseanalüüsiks, paranduste tegemiseks ning õige lahendusviisi leidmiseks, teine aga vähendab suure tõenäosusega lapse õpimotivatsiooni ning enesehinnangut. 

V rühm – konkreetsest abstraktsemaks

Umbes kuueaastane laps, kes selle rühma vahenditega tegelema asub, on juba muutumas meelelisest õppijast mõtteliseks, mis tähendab, et tema vastuvõtlik meel on hääbumas ning tal on tekkimas võime õppida abstraktsel tasandil, mõistes asju ilma neid käega katsumata või silmaga nägemata. See areng on lastel muidugi individuaalne ning toimub eri tempos mitme aasta vältel. Viies rühm võimaldab lapsel oma aju proovile panna, sest kuigi ka siin on veel käegakatsutavad vahendid arvelaudade kujul abiks, on tal vaja järjest rohkem arvutada paberil ja peast. 

VI rühm – murrud ja murdarvud

Selles rühmas on vaid üks vahend: murruringid. Tegu on üleminekuvahendiga kooliastmesse, mistõttu ei pruugi seda mõnel puhul rühmaruumis ollagi, eriti riikides, kus kooli minnakse viie-kuueaastaselt. Kuna Eestis minnakse kooli alles seitsmeaastaselt, on selle vahendi lasteaiarühmas hoidmine õigustatud, mis aga ei tähenda, et kõik lapsed selleni jõuaks. Murruringide abil tutvub laps arvudega, mis on väiksemad kui üks. Laps uurib murde, võrdleb neid omavahel, õpib murde kirjutama ning tegema ka lihtsamaid tehteid, näiteks sama nimetajaga liitmine ja lahutamine ning täisarvuga korrutamine ning jagamine. 

Abstraktse mõtlemise arengu toetamine

Abstraktne mõtlemine – vähemalt sellisel tasemel – on inimesele ainuomane võime. Tänu sellele ongi inimene liigina olnud sedavõrd kohanemis- ning arenemisvõimeline. Inimene sünnib siia ilma abstraktse mõtlemise potentsiaaliga, kuid see realiseerub alles teiseks arengujärguks ehk vanuses 6–12. Enne seda on lapsel vaja maailma oma meelte kaudu tundma õppida, sest abstraktse mõtlemise ning kujutlusvõime aluseks on reaalsed kogemused. Teades, kuidas toimib väikese lapse vastuvõtlik meel ning mis juhib tema õpiprotsesse laiemalt, saame toetada lapse abstraktse mõtlemise arengut esmalt käegakatsutaval kujul. Kuna abstraktse mõtlemise areng on väga individuaalne ning uue info haaramise ning järelduste tegemise võime erineb suuresti ka täiskasvanuti, on koolieelses eas laotud vundament hiljem nii kooli- kui ka täiskasvanueas suureks abiks, seda eriti matemaatika valdkonnas.