Mitu rasket ülesannet sina ära lahendasid?
Matemaatika muutub õpilasele huvitavaks siis, kui ta peab tõsiselt pingutama, kirjutab Stanfordi ülikooli professor Jo Boaler raamatus „Piirideta mõistus“.
Oma raamatus arutleb Jo Boaler selle üle, kuidas tuleks matemaatikat õpetada, et õpilased seda õppeainet ei kardaks, vaid peaksid huvitavaks. Raamatule on iseloomulik, et autor ei piirdu kitsalt matemaatika teemade analüüsiga, vaid vaatab õhustikku, milles laps matemaatikat õpib. Näiteks väidab ta, et huviringis käival lapsel läheb matemaatika paremini. Põhjendab ta seda sellega, et huviringis ei konuta laps omaette, vaid kuulub teiste hulka ja tunneb end kindlamana, kuid just kindlustunnet läheb matemaatika õppimisel väga vaja.
Boaler toob oma raamatus välja tervelt viis „matemaatikavälist“ ideed, mis vähendavad õpilaste hirmu matemaatika ees ja innustavad seda ainet õppima. Ideed, mida tuleb nii õpilastel kui ka õpetajatel kogu aeg meeles pidada, on järgmised.
- Raskuste ületamine tiivustab õpilast rohkem kui õpetaja kiitus.
- Matemaatikuks ei sünnita, vaid õpitakse.
- Kes usub, et suudab matemaatikat õppida, see suudabki.
- Vigadest õpitakse rohkem kui õigesti vastamisest.
- Rühmas õppides on matemaatika õpilasele huvitavam.
Kogenud pedagoog ütleb muidugi, et need viis ideed on teada juba ammu ja neid tuleb rakendada mitte ainult matemaatika, vaid iga õppeaine õpetamisel. Jo Boaleri esituses mõjuvad need siiski värskelt ja nüüdisaegselt, sest ta põhjendab neid uusimatele aju-uuringutele ja eksperimentidele tuginedes ning raamatus rakendab ta neid just matemaatika õpetamisel.
Pingutamine arendab aju
Boaler on pingutamise usku. Kui õpilane küsib, kus tal elus algebrat vaja läheb, siis soovitab Boaler vastata: „Algebra kallal pingutamine arendab aju ja head aju läheb elus alati vaja.“
Pingutamine arendab tõesti aju. Boaler tutvustab raamatu alguses katset, kus eri vanuses Londoni taksojuhid õppisid linnas vajalikke aadresse üles leidma. Mida rohkem nad vajalikke kohti üles otsisid, seda suuremaks muutus nende hipokampus, aju osa, mis tegeleb ruumilise mõtlemisega. Kui taksojuhid aga pensionile läksid, hakkas neil hipokampus taas vähenema. Boaler märgib, et see on õpilastele ja ka õpetajatele väga oluline info: kui sa harjutad, muutub aju suuremaks, kiiremaks ja leidlikumaks; kui ei harjuta, siis aeglasemaks ja isegi väiksemaks.
Kahjuks on päris palju ka neid, kes veel ei usu, et harjutamisega aju areneb, märgib Boaler. Näiteks matemaatikas jagatakse inimesi praeguseni andekateks ja andetuteks – olgu teadlikult või alateadlikult. Boaler ütleb, et ligi pool maailma inimestest peab ennast matemaatikas sünnipäraselt andetuks, uskudes, et neil pole vähimatki mõtet matemaatikat õppida – nagunii ei saa aru.
See on sügavalt ekslik seisukoht, toonitab Jo Boaler. Mitte ükski aju-uuring pole näidanud, et mõnel inimesel oleks juba sünnihetkel matemaatiku, muusiku, kunstniku või mõne teise spetsialisti aju. Küll aga näitavad ajuskaneeringud selgelt, et matemaatikaga tegeleval inimesel areneb välja matemaatiku aju, muusikaga tegelejal muusiku aju jne.
Boaler toonitab, et matemaatikuks ei sünnita, vaid õpitakse, ja et andekus on eelkõige visa pingutamise tulemus. Ta toob välja, et uuringute järgi on paljud tippmuusikud tipus seepärast, et on oma instrumenti harjutanud vähemalt kümme tuhat tundi ehk kulutanud harjutamisele kakskümmend aastat.
Boaler selgitab, kui kahjulik ja ebaõiglane on arvata, et mõnel inimesel aju ei arene. Ta osutab eelkõige oma sünnimaale Suurbritanniale, kus nelja-aastased lapsed jagatakse võimekuse alusel nõrgemate ja tugevamate õpilaste rühmadesse. Boaler toob välja, et sealsamas Suurbritannias tehtud uuringud näitavad, et nelja-aastaselt võimete alusel nõrkade rühma määratud õpilastest jääb 88 protsenti nõrkade kategooriasse kogu ülejäänud kooliajaks. Negatiivne sisendus, et oled nõrk, on nii tugeva mõjuga, et laps võtab selle omaks.
Boaler soovitab õpilastele korrata, et nad suudavad matemaatikat õppida, kui piisavalt harjutavad ja pingutavad. Igaüks suudab isegi joonistama õppida, kui vaid piisavalt harjutab, lisab Boaler.
Jo Boaler peab just pingutamist väga oluliseks. Tema arvates peaks iga matemaatikaõpetaja püüdlema selle poole, et raskuste ületamine matemaatikas oleks pidev jututeema. Õpilased võiksid üksteiselt sageli küsida: „Mitu rasket ülesannet sina ära lahendasid? Kuidas sa seda tegid? Kust selliseid ülesandeid veel leiab?“ Jms.
Raskused on head, sest neid ületades areneb aju kõige rohkem, toonitab Boaler. Isegi Albert Einstein öelnud, et ei saavutanud edu mitte tänu andekusele, vaid pühendumisele ja rängale tööle.
Ettevaatust kiitusega!
Jo Boaler ei soovita õpilasi kiita sõnadega „Sina oled meil andekas“, „Sinul on hea pea“, „Sina oled tark laps“. Boaler väidab, et selline kiitus toetab ideed, et matemaatikuks sünnitakse. Boaler on täheldanud, et targa lapse sildi külge saanud õpilane ei julge enam küsimusi esitada, sest küsimine näitab, et ta ei tea. Boaler on märganud ka seda, et targa lapse sildiga õpilased tahavad lahendada ainult kergeid ülesandeid, sest nii saavad nad näidata, et on endiselt kiired ja „hea peaga“. Raskemaid ülesandeid nad väldivad, sest nende lahendamine eeldab pingutamist, kuid „andekal lapsel“ peab tulema kõik kiiresti ja kergelt.
Boaler soovitab kiitmise asemel pakkuda õpilasele eduelamust ehk ülesandeid, mis on rasked, kuid millest õpilane tänu pingutamisele siiski jagu saab. Boaler toonitab, et raskustega hakkamasaamine tiivustab õpilast palju rohkem kui õpetaja kiitus.
Kui üldse kiita, siis ainult tublisti pingutamise eest, ütleb Boaler. Näiteks võiks tunnustavalt öelda: „Sa oled suure töö ära teinud!“, „Sa oled õppinud nii keerulist ülesannet lahendama!“ või „Sa suutsid nii pika töö lõpuni teha!“.
Usk iseendasse määrab tohutult palju
Boaler on katsetega tõestanud, et igaüks suudab matemaatikat õppida, kui ta vaid usub, et seda suudab. Ta korraldas suvisel ajal Stanfordi ülikooli kampuses 18-päevaseid matemaatikalaagreid kooliõpilastele, kes olid nii hinnete järgi kui enda arvates matemaatikas keskmised. Laagis moodustati kaks rühma. Ühe rühma õpilastesse suhtuti kui võimekatesse ja neile kinnitati, et nad saavad kõigi raskete ülesannetega hakkama. Tulemus oli see, et selle rühma õpilaste lõpptestid olid laagri algul tehtud testidest 50% paremad. 18 päevaga omandasid need õpilased õppematerjali, mis vastas 2,7 õppeaastale. Selle rühma üks nõrgemaid õpilasi (73. koht), tõusis lõputestis tugevate hulka (13. koht).
Matemaatikalaagri teisele rühmale ei kinnitatud, et nad on tublid ja saavad kindlasti hakkama, ja selle rühma lõputestid paranesid laagri lõpuks minimaalselt. See rühm ei uskunud, et saab hakkama, ja ei saanudki.
Kui tähtis on see, mida inimene usub, selle kohta toob Boaler piltlikke näiteid ka väljastpoolt kooli. Näiteks USA-s selgitati ühes eksperimendis rühmale koristajatele, et koristajatöö vastab USA terviseteenistuse soovitatud aktiivse elulaadi nõuetele. Koristajad, kes seda uskuma jäid, olid oma tööga varaemast rohkem rahul, neil oli vererõhuga vähem probleeme ning nad võtsid isegi kaalus alla.
Teises eksperimendis selgitati katsealustele, et kui nad oma ettekujutuses midagi tugevalt suruvad, muutuvad neil vastavad lihased tugevamaks, ehkki nad päriselt midagi ei suru. Katse kestis 12 nädalat ja iga päev surusid katseisikud 15 minutit oma ettekujutuses midagi hästi tugevasti. Tulemusena muutusid katsealuste lihased katse lõpuks päriselt 35% tugevamaks.
Õpilastele on vaja tihti öelda, et nad suudavad matemaatikat õppida. Kui neile seda veenvalt öelda, siis nad väga tõenäoliselt suudavadki, tõdeb Jo Boaler.
Viga paneb aju surisema!
Ajuskaneeringud osutavad huvitavale nähtusele: vigu tegeva õppija aju töötab palju aktiivsemalt kui õigesti vastaja oma. Eriti aktiivselt töötab erivajadustega lapse aju, tema närviühendused lausa põlevad arengust, kirjutab Boaler.
Boaler järeldab siit, et õigesti vastamine ei ole kuigi tõhus õppimisviis, kuid paraku peetakse just õigeid vastuseid koolis kõige tähtsamaks. Õpilastele endale meeldib ka õigesti vastata, sest hea mälu korral on niimoodi suhteliselt kerge õppida. Paraku ei arenda kerge õppimine aju.
Viga aktiviseerib aju rohkem kui õige vastus ja seepärast soovitab Boaler õpetajal vahel teadlikult vigu teha. Boaler: „Kui õpetaja teab alati õigeid vastuseid, kui ta ei eksi kunagi, ei ole iialgi segaduses, siis jätab ta õpilastele tõhusast õppimisest täiesti vale mulje. Õpetaja peab olema klassis õppija moodi – tegema vigu, eksima, neid parandama.“
Nutikas õpetaja ütleb vahel oma õpilastele: „Ma kohe ei tea, mida selle ülesandega ette võtta! Aidake mind!“ Nutikas õpetaja teeb vahel meelega vea, et õpilased seda märkaksid ja parandama ruttaksid. Niimoodi teeb õpetaja õpilastele selgeks, et igaüks võib eksida ja igaühe vastuste suhtes tasub olla skeptiline; alati tasub küsida: „Kust sa seda tead?“, „Kas sa suudad seda tõestada?“. Õpilastele meeldib skeptiline olla, kinnitab Boaler. Näiteks Stanfordi ülikooli matemaatika suvelaagrites võtsid õpilased skeptiku rolli täielikult omaks ning klassitäied õpilasi muudkui küsisid ja põhjendasid vastastikku.
Boaler soovitab lastevanematelgi oma laste käest nõu küsida ja lasta neil endale midagi õpetada, sest see tekitab lastel tunde, et kõik õpivad ja pingutavad.
Jaapani lapsed oskavad matemaatikat nii hästi just sellepärast, et õpivad nii enda kui ka õpetaja vigadest, väidab Boaler. Nimelt selgus vastavast uuringust, et jaapani õpilastel kulub 44 protsenti tunni ajast põhimõistete läbivaidlemiseks ja lahtiseletamiseks. Nad juurdlevad, nuputavad, teevad vigu, parandavad neid – kuni jõuavad uue mõiste tuumani. Tundi andes teeb jaapani õpetaja meelega vigu, et õpilased neid märkaksid ja parandaksid. Samal ajal kulutavad USA õpilased uute mõistete lahtiseletamisele vaid ühe protsendi tunniajast. Ameerika õpilased jätavad lihtsalt reegli meelde ja kasutavad seda, lahendades ülesandeid. Niimoodi on matemaatikat lihtsam õppida, kuid matemaatiline mõtlemine sellega ei arene, ütleb Boaler.
Boaler soovitab kasutada matemaatikatunnis aktiivõpet, et õpilased saaksid võimalikult suure osa matemaatikast ise avastada. Ta märgib, et koolides, kus kasutatakse aktiivõppe meetodeid, meeldib matemaatika õpilastele palju rohkem ja nende koolide riigieksamite tulemused on üle keskmise. Ja veel üks väga-väga oluline tähelepanek, mille Boaler esile toob: aktiivõppe meetodil matemaatikat õppinud tahavad saada matemaatikaõpetajaks kümme korda sagedamini kui traditsioonilisel viisil matemaatikat õppinud. Kümme korda rohkem!
Matemaatika mitmemõõtmeliseks
Stanfordi teadlased on uurinud aju tööd matemaatikaülesannete lahendamise ajal. On selgunud, et matemaatika õppijal on aktiivsed viis ajupiirkonda, millest kaks on seotud nägemisega. Järelikult tuleb matemaatikat õppides kõiki neid viit piirkonda edasi arendada, toonitab Boaler. Praktikas tähendab see, et matemaatika õppimisel tuleks lisaks numbritega opereerimisele ka sõnu, mudeleid, algoritme, tabeleid, graafikuid, mõistekaarte, helide salvestamist, liigutusi ja paljusid muid võtteid kasutada.
Eriti soovitab Boaler matemaatika visualiseerimist. Taas toob ta näiteks Einsteini, kes püüdis kõiki oma mõtteid visualiseerida. Boaleri raamatus on toodud väga huvitavaid visualiseerimise ülesandeid. Ühes neist on antud seitse täppi ja õpilased peavad neid omavahel ühendades joonistama kujundeid. Selgus, et õpilased saavad sel viisil uskumatult erinevaid kujundeid. Boaler ütleb, et õpilased demonstreerisid talle, kuivõrd mitmemõõtmeline võib matemaatika olla.
Visualiseerimise huvides soovitab Boaler harilike murdude õppimisel kasutada näiteks paberi voltimist kaheks, neljaks, kaheksaks, kuueteistkümneks jne.
Mis juhtub, kui matemaatikat ei visualiseerita? Boaler toob selle koha õnnetu näite USA-st, kus õpilased on pakkunud PISA testides pii väärtuseks isegi 314. Põhjus on selles, et need õpilased ei olnud kunagi oma käega ringi ümbermõõtu ja diameetrit ära mõõtnud ega neid pikkusi omavahel võrrelnud, arvab Boaler. Ta arvab, et isegi lihtne kolmnurk, mille nurgad on A, B ja C, võiks olla paigutatud mingile maastikule, mitte lihtsalt tahvlile või paberile, sest nii on piltlikum. On matemaatikaõpetajaid, kes lasevad oma õpilastel matemaatika mõisteid joonistada või koomiksitega illustreerida. Tänu visualiseerimisele võib matemaatika oskajate arv kasvada mitu korda, väidab Boaler.
Muidugi on USA matemaatikaõpetajad Boalerile korduvalt öelnud, et nad peavad õppekava läbi võtma ja neil ei ole mitmemõõtmelise matemaatika jaoks aega. Boaler on siis vastanud: lahendage vähem ühetüübilisi ülesandeid ja laske õpilastel selle asemel millegi kallal tõsiselt juurelda.
Rühma sotsiaalne aju
Ajus on piirkondi, mida neuroteadlased nimetavad sotsiaalseks ajuks. Need piirkonnad aktiveeruvad, kui inimesed teevad koostööd. Boaler märgib, et sotsiaalse ajuga tasub matemaatika õppimisel arvestada, ja toob väga huvitava näite.
Texase ülikoolis hakati uurima, miks geomeetriaeksamil kukkus afroameeriklastest läbi ligi 60%, hiina tudengitest aga mitte keegi. Lähemal uurimisel selgus, et hiinlased õppisid geomeetriat mitmekesi koos: ühiselamus, sööklas, raamatukogus. Samal ajal afroameeriklased õppisid igaüks omaette. Kui afroameeriklased hakkasid samuti geomeetriat rühmas õppima, vähenes nende väljalangus ülikoolist juba kahe aastaga nullini.
Rühmadena õppimine ehk üksteiselt õppimine ja üksteise õpetamine on ääretult kasulik, toonitab Boaler. Uuringutest on selgunud, et koolides, kus kohalikud lapsed õpetavad oma immigrantidest klassikaaslasi, on kogu kooli tulemused keskmisest paremad. Rühm avardab õppija silmaringi, selgitab Boaler. Õpilased näevad, et igaüks neist mõistab geomeetriat natuke erinevalt, ja nii muutub geomeetria nende jaoks mitmemõõtmeliseks. Rühm kasvatab õpilasi ka inimestena. Nad harjuvad oma arvamusest erinevaid arvamusi ära kuulama ja nende üle mõtlema.
Boaler ütleb, et rühmas tekib suhtlemisvõrdsus. Kui individuaalselt õppijate puhul on tipus olevad õpilased omavahel, keskmised omavahel ja mahajääjad omavahel, siis ühise rühmana õppijad on kõik võrdsed, kuulavad üksteist ära ja aitavad üksteist. Õpetage õpilased rühmadena õppima ja koolikiusamine kaob, ütleb Boaler. Ta tsiteerib Etienne Wengerit, kes ütleb: „Õppides muutub meie mõtlemine, aga ka meie süda ja vaim.“
Boaler on uurinud, kuidas rühmana õppivad õpilased mõtlevad. Ta küsis neilt, mida tuleks teha, et matemaatika hästi selgeks saaks. Õpilased vastasid, et tuleb osata kõigi mõtteid ära kuulata, sest äkki ise eksid. Tuleb teistelt küsida, kuidas nemad seda teeksid, mida sellest arvaksid. Üks vastus rõõmustas Boalerit eriti: „Kui ma oskan midagi, mida teine ei oska, tunnen ma, et pean teda õpetama, sest me õpime ju koos.“
Kuid Boaler hoiatab, et rühmadena õppida võib olla keeruline. Seda peab tegema kindlate reeglite järgi. Näiteks soovitab ta plakatina seinale panna selle, mis rühmaliikmetele ei meeldi. Õpilased on pakkunud plakatile selliseid mõtteid: „Mulle ei meeldi, kui mulle vastus ette öeldakse“, „Mulle ei meeldi, kui minu mõtteid ei kuulata. „Mulle ei meeldi, kui töötatakse minust kiiremini“.
Teisele plakatile tuleb panna see, mis rühmaliikmetele meeldib. „Mulle meeldib, kui mulle esitatakse küsimusi, mitte ei näidata ette, kuidas midagi teha“, „Mulle meeldib, kui me kõik alustuseks ütleme, mida keegi mõtleb“, „Mulle meeldib, kui teised minu mõtteid kuulavad“. Sellised plakatid võiksid olla aasta otsa klassis seina peal.
Huviharidus toetab matemaatika õppimist
Sotsiaalse ajuga seoses märgib Boaler ka huviringe. Kui üks kool kutsus haridusteadlased appi, et saada matemaatikas nõrgad õpilased hoolsamalt õppima, pakkusid teadlased nendele õpilastele esimese asjana huviringe, kus nad saaksid koos teistega midagi põnevat teha. Eesmärk oli, et probleemidega õpilased ei norutaks omaette, vaid kuuluksid teiste hulka ja oleksid positiivselt meelestatud. Olgu see huviring tants, sport, kunst või muusika – kõik need huvialad sotsialiseerivad õpilasi ja tulemus on, et neil hakkab matemaatika samuti paremini minema.
Positiivne suhtumine on nii matemaatika õppimisel kui ka elus üldse ääretult tähtis. Boaler toob välja, et positiivselt meelestatud inimesed elavad teistest keskmiselt seitse ja pool aastat kauem. Kui inimene usub endasse ja oma võimetesse, siis toimib mitte ainult tema aju, vaid ka keha teistmoodi
Boaler kirjutab kokkuvõtteks, et matemaatika õppimine peaks olema kogukondlik pingutus, sest see teeb matemaatika õppijale kergemaks ja kujundab temast ka parema inimese.
YouCubed!
Jo Boaler veab ülipopulaarset haridusplatvormi YouCubed!
Õpetajaid osaleb seal rohkem kui sajast riigist, õpilasi on miljoneid. Seal otsitakse ühiselt matemaatika huvitavamaks muutmise võimalusi, näiteks töötatakse välja matemaatika visualiseerimise uusi variante, koostatakse ühiselt põnevaid tunnikonspekte jpm.
Kasutage võimalust teha Jo Boaleriga praktilist koostööd!
Aitäh, Raivo, väga huvitava ja edasiviiva artikli kirjutamise ja matemaatika erilehe avaldamise eest!
Jo Boaleril on õnnestunud mitmeid võtteid kasutades saavutada matemaatika õpetamisel väga häid tulemusi. Artikkel innustab meidki neid võtteid intensiivsemalt rakendama.
Loomulikult ei õnnestu ühes artiklis kõiki võimalusi vaadelda. Einar Rull täiendab seda võtete kogu. Allpool minultki paar mõtet.
Artiklis võimendub mõte, et vigu ei tasu karta. Need näitavad, et õpilane töötab intensiivselt. Tõepoolest pole otstarbekas vigade pärast õpilast noomida. Samas on elus palju valdkondi, kus ka ühe vea tegemisel võivad olla rasked tagajärjed õpilase tervisele või heaolule. Olgu siin näited elektrikust, autojuhist või ka inimsuhtlemisest. Matemaatika harjutustes vigade tegemine pole tõesti nii ohtlik, neid vigu saab kergelt paberil parandada. Kui aga vigade tegemine tekitab harjumuse pealiskaudselt mõelda, siis võib õpilase areng olla takistatud. Rohkem vigu ja kõrgem aju aktiivsus võivad olla tingitud sellest, et õpilasel pole teema veel selge. Kui saab selgeks, siis on väike pinge ja rohkesti õigeid vastuseid ning saab lahendada keerukamaid ülesandeid.
Raivo toob tsitaadi Jo Boalerilt “Algebra kallal pingutamine arendab aju ja head aju läheb elus alati vaja”. Olen ka ise seda usku, et matemaatika õppimine arendab inimest üldiselt. Samas matemaatikast üksi ei piisa, et kõikide eluvaldkondade ülesandeid edukalt lahendada. Erinevad tegevusvaldkonnad arendavad aju erinevaid osi on artiklis kirjas. Need valdkonnad nõuavad omaette harjutamist. Seetõttu on vajalikud nii kitsas kui lai matemaatika ainekava.