Mäng ja matemaatika on lahutamatud

Me ei lõpeta mängimist sellepärast, et jääme vanemaks, me jääme vanaks sellepärast, et lõpetame mängimise. G. B. Shaw

Populaarteaduslik raamat „Mängude matemaatika. Sissejuhatus mänguteooriasse“ on mõeldud abiturientidele ja üliõpilastele. Raamatu mängulisi ülesandeid võib lahendada nii matemaatika, majandusõpetuse kui ka valikaine tunnis, kuid neid võib lahendada ka ajaviiteks. 

Gümnasistid võivad küsida, kas neil mängteooriat elus vaja läheb ja kas ei tasuks süveneda millessegi tõsisemasse ja vähem mängulisse. Tegelikult on aga mänguteooria väga tõsine ja praktiline ning eriti hinnatud näiteks sõjanduses. Meediastki jooksis läbi, et enne Ukraina sõjaväe kiiret ja edukat rünnakut Izjumi piirkonnas mängiti sellesama rünnaku kümneid variante läbi mänguteooria abil (kasutades arvutit, simulaatorit jm) ning valiti siis välja see variant, mis andiski hea tulemuse. Ka raamatu „Mängude matemaatika“ alapunktis 1.4 toodud rakettide ja lennukite ning alapunktis 1.5 allveelaeva tõrjumise ülesannet saab lahendada mänguteooria abil, koostades lineaarse planeerimise ülesande.

Kuid mänguteooria ei keskendu ainult sõjandusele, sest huvigruppide mitmesugustest taotlustest tingitud konfliktid on iseloomulikud paljudele valdkondadele: väärtuste jaotamine majanduses, liikluskorraldus, poliitika, sotsioloogia jne. Pole ülearune lisada, et mänguteooria rakendustega seotud tööde eest on välja antud üheksa Nobeli majandusauhinda. Mänguteooria on tõesti tõsine asi.

Järgnevalt tutvume mõne konkreetsema näitega raamatust „Mängude matemaatika“, et mänguteooriast konkreetsemat ettekujutust saada.

Liikluskorraldus

Linnad A ja B on ühendatud kitsa otsetee ja laia ringteega. Oletame, et päevas läbivad seda vahemaad 4000 autot ja tuleb leida parim liikluskorralduse viis. Mööda ringteed kulub peatusteta sõiduks 40, otseteel 20 minutit. Aga otseteel tekib enne linna B ummik, sest paljud autojuhid on valinud lühema tee, et ajas võita. Kuna ummikus tuleb oodata 20 minutit, siis jõuab ka kitsast teed mööda linnast A linna B 40 minutiga ja seetõttu ei ole enam vahet, kumb tee valida. Sellises olukorras on süsteem tasakaalus, mõlema teelõigu läbimiseks kulub 40 minutit. Kui tuntakse mänguteooriat, siis ei ole sellised ummikud ja tasakaalu tekkimine liikluse korraldajatele üllatus. Neid ei üllataks ka see, kui linna A ja linna B vahele kolmanda tee lisamisel hakkab tasakaaluolukorras (teatud olukordades) kuluma sõiduks mitte vähem, vaid rohkem aega. Põhjalikumalt on sellest kirjutatud alapunktis 3.1.

Mänguteooria tundjad teavad ka seda, et liiklust saab kiirendada, kui näiteks keelata ristmikul teatud sõidusuunad jms. Mänguteooria aitab keerulisi situatsioone läbi mängida ja tasakaalustatud lahendusteni jõuda. Relatiivsusteooria looja Albert Einsteini järgi on kogu elu nagu jalgrattasõit, kus edasiliikumiseks on vaja tasakaalu. Riikide kulud ja tulud peavad olema tasakaalus, nagu ka tootmine ja tarbimine või inimese toitumisel saadav energia ja selle kulutamine.

Kinnipeetava dilemma

Meile võib tunduda, et ei ole võimalik ära arvata, kuidas vangid mõtlevad, mistõttu me ei oska ennustada, kuidas nad käituvad. Tegelikult saab mänguteooriale tuginedes päris hästi ennustada, mida vangid teatud situatsioonides mõtlevad ja kuidas nad käituvad. Väga piltlikult selgitab vangide arutlusi tuntud kinnipeetava dilemma näide. 

Kaht varem karistatud kinnipeetavat kahtlustatakse ühises kuriteos. Ülekuulamisel räägitakse mõlemale eraldi ruumis, et kui nad mõlemad kuriteo üles tunnistavad, siis saavad nad karistuseks kolm aastat vanglakaristust. Kui üks vang ühise kuriteo üles tunnistab, siis ta vabastatakse, kuid teine, kes ei tunnista, läheb kümneks aastaks vanglasse. Ja kolmas variant: kui kumbki ühist kuritegu üles ei tunnista, jääb mõlema karistuseks üks aasta vangistust eeluurimise ajal, sest pole otseseid tõendeid.

Tundub loogiline, et vangid oma ühist kuritegu üles ei tunnista, sest siis on mõlema karistus kõigest üks aasta – eeluurimise aeg. Kuid on üks asjaolu, mis ei võimalda kummalgi ainult aastase vangistusega piirduda – vangid nimelt ei usalda teineteist! 

Esimene vang kardab, et teine võib vabaks saamise nimel teda reeta ja nende ühise kuriteo üles tunnistada. Esimene vang saaks siis kümme aastat vangistust. Selle maksimaalse karistuse vältimiseks otsustab ta kuriteo üles tunnistada. Tänu kuriteokaaslase „reetmisele“ on tal lootust saada kõigest kolm aastat või pääseda hoopis vabaks – seda juhul, kui teine vang kuritegu üles ei tunnista. Seega tasub esimesel vangil „reetmisega“ riskida.

Teine vang mõtleb niisamuti, et äkki esimene vang tunnistab vabaks saamise nimel nende ühise kuriteo üles. Sel juhul saaks tema, kui ta üles ei tunnista, karistuseks kümme aastat. Et maksimaalset karistust vältida, tunnistab temagi ühise kuriteo üles, sest siis saab ta kõigest kolm aastat või hoopis vabaks. 

Kinnipeetava dilemma osutab, et kuriteokaaslasest hoolimine võib kalliks maksma minna – võid saada kümme aastat vanglakaristust. Samal ajal võib reetmise hind olla vabadus. Enamasti lähtuvad vangid mitte teise, vaid iseenda huvist ja tunnistavad kõige rängema karistuse vältimiseks ühise kuriteo üles. Nii saavad mõlemad karistuseks kolm aastat. Kumbki ei pääse vabadusse, kuid ei saa ka kümmet aastat, see on mängu tasakaalukas lahendus. 

Selles näites on juttu vangidest, kuid samasuguseid situatsioone mängitakse läbi ka riikide suhetes. Kindel partnerlus on variant, millest võidavad kõik riigid. Paremuselt teine variant on selline, kus kõik reedavad kõiki. Oma lubadusest kinni pidav riik võib aga mõningatel juhtudel saada kõige suuremat kahju.  

Tööliste brigaad

Brigaad koosneb neljast inimesest. Esimene tööline suudab koos mis tahes arvu ülejäänud töölis(t)ega vajaliku töö ära teha, kuid kõik ülejäänud suudavad kogu töö ära teha ilma esimese tööliseta. Selles olukorras tuleb leida iga osaleja õiglane panus.

Mängu kirjeldusest järeldub, et teise, kolmanda ja neljanda töölise tööviljakus on võrdne, esimese tööviljakus aga kaks korda suurem kui ülejäänutel – ta töötab kahe eest. Seega peaks esimese töölise töö moodustama 2/5, ülejäänutel 1/5, kokku 3/5. Nende arvude summa on üks.

Vaadeldud näite matemaatiliselt korrektne püstitus ja lahendus on toodud õpiku „Mängude matemaatika“ kooperatiivsete mängude osas. See on ühtlasi näide õiglasest jaotamisest. Klassikaline näide väikese koogi õiglasest jaotamist kahe inimese vahel on see, et üks poolitab koogi ja teine valib esimesena tüki. Veel on raamatus vaadeldud näidet õiglasest jaotamisest kolme inimese vahel, kus üks annab raha ja teised kaks panustavad tööga. Ka kulude jaotamist mitme osalejaga toimingus saab kirjeldada kui kooperatiivset mängu. Raamatus vaadeldakse taoliste mängude koostamise ja lahendamise võimalusi ja see kõik on seotud mänguteooriaga. 

Arvu määramine

Matemaatikat kasutavad kas teadlikult või intuitiivselt ka trikkide korraldajad. Näiteks laseb triki korraldaja mängijatel kirja panna suvalise kuuekohalise korduvate osadega arvu, näiteks 348 348. Seejärel jagavad mängijad enda üleskirjutatud arvu esmalt 11-ga, siis saadud tulemuse 13-ga. Kui triki korraldaja saab vastuse teada, jagab ta selle peast seitsmega ja teatab mängijale tema valitud arvu. Seda kõike on kerge põhjendada, kui arvestada, et 348 348 = 348 x 1001 = 348 x 7 x 11 x 13.

Veel on „Mängude matemaatikas“ kirjeldatud klassikalist mängu „Kivi-paber-käärid“, milles peetakse isegi maailmameistrivõistlusi (vt World RPS Society). Seda mängu mängides arvestatakse samuti tõenäoliste otsustega, mida teised mängijad võivad teha. Näiteks tasub mängides arvestada, et peaaegu kunagi ei vali vastane kolm korda järjest sama eset. Tuleb hoolikalt vaadata ka seda, kas vastase käsi on pinge all – siis valib ta tõenäoliselt kivi. Kui pinge tundub olevat vaid esimeses ja teises sõrmes, valib ta ilmselt käärid. Seda mängu mängiti Hiinas juba Mingi dünastia ajal, aastatuhandeid tagasi.

Selles raamatus on ka väikseid nuputamisülesandeid, mis eeldavad eri võimaluste peas läbi mängimist. Näiteks ülesanne 18.Korvis on kolme sorti õunu. Mitu õuna tuleb huupi valides võtta, et nende hulgas oleks a) vähemalt kaks sama sorti õuna, b) vähemalt kolm sama sorti õuna?

Ja ülesanne 19. Kaks sõpra läksid koos poegadega matkama. Teel tuli ületada jõgi kokkupandava paadiga, mis võtab peale maksimaalselt 100 kg. Kumbki isa kaalus koos seljakotiga 100 kg, kumbki poeg 50 kg. Kas kõik saavad teisele kaldale?

Raamatus „Mängude matemaatika“ on toodud kokku rohkem kui kakssada matemaatika, füüsika ja igapäevaelu ülesannet koos lahenduste ja vastustega. Need peaksid huvitama matemaatikaõpetajaid, aga ka tulevasi insenere ja ökonomiste, kelle õppeprogrammis on kohustuslikud matemaatikakursused. Lisad kirjeldavad lühidalt tõenäosusteooria ja matemaatilise statistika ning ridade teooria mõisteid, mida kasutatakse mängude lahendamisel.