Missugust matemaatikat on vaja esimese kursuse tudengil?
Ühest küljest püütakse matemaatika kõigest kõrgemale tõsta – kirjuta vaid võrrandid ja kõik maailma probleemid saavad lahendatud. Teisest küljest jäetakse õppija ilma nendest võtetest ja ideedest, mida iga päev vaja on.
Olen matemaatikaga kokku puutunud nii õppuri kui õpetajana ja seda vast 65 aastat ning mul on sellest pikast ajast väga mitmesuguseid mälupilte. Eelkõige püüan allpool kokku võtta seda, mida olen kogenud matemaatika „tarbijana“, sh üliõpilaste juhendajana.
Igaks juhuks märgin kohe alguses, et matemaatika kui õppeaine on midagi hoopis muud kui matemaatika elus. Esimene on pärit vast eelkõige sajanditagusest ajast, mil ülikoolis õpitigi teadusi ning ülikooli lõputunnistusega inimesel oli lai silmaring pea kõigis teadustes ja ta oli tööturul eriti kõrgelt tasustatud.
Tänapäeval on matemaatika roll teistsugune ja on ääretult kurb tõdeda, et väljend „ma ei jaga matemaatikast midagi“ kõlab ikka veel peaaegu et enesekiitusena. Paraku on selle taga just seesama, et koolis pidi inimene õppima matemaatikat kui teadust ja piiratud valdkonda, nägemata selles abilist (alust) oma elu probleemide lahendamisel. Sama vea all kannatavad muidugi kõik teisedki õppeained.
Suutlikkus probleeme lahendada
Noor inimene peaks koolis käies omandama suutlikkuse teha otsuseid võimalikult paljudes elulistes olukordades, sealhulgas teistes õppeainetes. Umbes nii peaks matemaatika peegelduma õppuri ettekujutuses. Aga just selline peegeldus tundub koolis puudu olevat ja, mis veel kurvem, üldhariduskoolid pole ka küsinud, kuidas peaks ülikooli astuv noor matemaatikat mõistma. Vähemalt minult pole seda mitte kunagi küsitud.
Alles mõnikümmend aastat tagasi visati ülikoolist välja kõik, kes ei saanud matemaatikaga hakkama, kuigi neist võisid saada nt väga head insenerid. Praegu antakse noortel aega küpseda ja reaalainete tudengid tunnistavad ise ka: „Ahhaa, nüüd on mul selge, mida meile matemaatikas püüti õpetada! Esimesel kursusel ei saanud me sellest mõhkugi aru.“ Matemaatika ja nt inseneeria suhe on praeguseks totaalselt erinev isegi sellest, mis oli veel 30 aastat tagasi.
Kõrvalepõikena mälestus poole sajandi tagusest ajast. Siis tuli väga hea matemaatik dotsent Aleksander Garšnek minu juurde ja küsis, milliseid osi matemaatikast me inseneerias kasutame. See oli aeg, mil matemaatika oli inseneriõppes väga kõrgel (liigagi kõrgel) kohal, kuid Garšnek nägi matemaatikas eelkõige inseneride abimeest ja meil kujunes välja fantastiline koostöö, mille käigus õpetas Sass meid inseneeria probleeme lahendama võrrandisüsteemide, graafide, skalaarkorrutiste, Laplace’i ja Fourier’ teisendustega jpm. Nii kompleksset lähenemist matemaatikale ja inseneeriale olen kogenud ainult üks kord poole sajandi jooksul.
Panen allpool kirja mõned konkreetsed näited selle kohta, mida võiksid inseneeria tudengid matemaatikast esimesel kursusel juba teada.
Mõtlemapanevaid küsimusi värsketelt tudengitelt
MUL ON ANDMEID LIIGA PALJU!
Esimese aasta tudengid teatavad tihti, et neil on ülesandes veel andmeid, aga nad ei oska neid kasutada. Tegelikus elus pole andmeid kunagi paras arv, alati on vähem või rohkem kui vaja. Paraku tullakse koolist teadmisega, et kõik andmed tuleb ära süüa.
KAS TOHIB OSA VARIANTE KÕRVALE JÄTTA?
Tudeng küsib: mul on siin valikutega ülesanne, kas ma tohin osa variante kohe kõrvale jätta, sest sealsetest numbritest ei saa mitte kuidagi seda vastust, mida otsin? Minu vastus on ikka: täpselt nii peategi tegema, sest elus on kõige tõhusam võte just välistamine ja te teete seda iga päev. Seegi lihtne idee on koolist puudu. Kahjuks sunnitakse ka ülikoolis tudengeid kõik välja arvutama ja siis arve võrdlema.
MUL ON ÜKS NÄITAJA ÜLE KESKMISE!
Kui noor inimene usub, et viimase 14 päeva keskmine ei saa olla väiksem kui eilse päeva näitaja, siis ta vist ei mõista keskmise olemust. Ma soovitan siis see küsimus loogiliselt läbi mõelda ja leida analoogilisi nähtusi teistest ainevaldkondadest, sest meie ümber on keskmisi väga palju.
MITMENDAS ASTMES PEAB KÜMME OLEMA?
Veel üks halb komme, mis koolist pärit: arvutamine arvudega, kus on kümne astmed. Insenerid ja mitte ainult nemad arvutavad suurustega, mis kirjas prefiksitega (7 nm, 1 TB, 24 kWh jne), sest siis on suurus igal sammul tunda. Noortel tudengitel on paraku probleeme isegi milli ja kiloga, rääkimata nende korrutamisest. Prefiksid on tunginud igale poole meie ümber, juba paar-kolmkümmend aastat näidatakse rahagi nt k$, M$ või ka eriti rikaste puhul G$-es. Ka kõnekeelne väljend „palka saan kaks kilo“ on üsna levinud.
MIS VALEMIT PEAB KASUTAMA?
Üks hullemaid asju on muidugi see, kui tudeng küsib, millist valemit ta peab kasutama (ja ikka ja jälle!). Minu vastus on olnud: „Kuidas sa tulemuse leiad, see on selle õppeaine küsimus. Kui sa aga paned lihtsalt arvud valemisse, siis see on matemaatikatund.“ Valdkonda tundval inimesel ei ole tavaliselt mingeid valemeid vaja, sest õppeaine enda loogika lahendabki ülesande. Ja nii ma ütlengi tudengitele: „Ma ei tea valemit, ma mõtlen.“
Kui paneme reaalse ülesande arvud valemisse, siis pole vaja muud, kui kasutada matemaatikast tuntud lahendusmeetodeid. See võib aga minna keeruliseks, sest matemaatika lahenduskäigud sisaldavad lahutamistehet, mis on kõige hullem vigade allikas. Olen aastate eest näinud, kuidas teadur sai arvutiprogrammi kasutades rahumeeli vastuse, mis oli 1000% vale. Samal ajal ülesannete lahendamisel valdkonnale loomulike meetoditega ei tule mitte kordagi lahutada, sest kõik andmed on positiivsed.
Paarkümmend aastat tagasi olin tõeliselt üllatunud, kui lausa terve rühm tudengeid ei suutnud jagada 12 amprit kahte ossa vahekorras 3:1, küll pakuti väiksemaks osaks pool ja kolmandik jne. Siis palusin neil jagada samas vahekorras 100 krooni ja kõigilt tuli silmapilkne vastus: 25 krooni. Just lihtsate ülesannetega kimpu jäämine ongi viimasel aastakümnel tudengite silmatorkavaim häda.
SEE ON ÜMMARGUNE – MA EI OSKA!
Gümnasistid ei ole ilmselt kokku puutunud ka selle lihtsa asjaga, et igal pool, kus on midagi ümmargust või pöörleb, on mängus arv π. Et leida ringi (või ellipsi) pindala, joonistame tema ümber ruudu, mille pindala on ilmselt 4r2, ja kuna ring on napilt väiksem, siis ilmselt πr2. Sama kehtib ümbermõõdu kohta.
KAHTE EI SAA JU KOLMEGA JAGADA!
Kui ei saa 3-st 5 lahutada, siis mõtleme vajaliku suuruse ise välja ja paneme talle nimeks näiteks –2. Pärast seda vaatame, kuidas edasi opereerida. Sama lugu on murdudega: kui jagada ei saa (näiteks 2 3-ga), siis mõtleme välja 2/3 ning uurime, mida sellega pihta hakata.
Mis murdudesse puutub, siis neid on ka teist sorti, nt kümnendmurrud või kahendmurrud (arvutis, reaal- või ujupunktiga arvud). Enamikku murdudest ei saa täpselt kirja panna (kasvõi seesama 2/3). Seepärast ei tohiks neid programmis võrdsuse kontrolliks kasutada. Põhjus, miks lihtmurde programmides (peaaegu) ei kasutata, on selles, et murde peaks suutma taandada, aga teguriteks lahutamine on niivõrd mahukas ja keeruline ülesanne, et sellel põhineb tänapäeva krüptograafia.
MA EI SUUDA RUUTJUURT ETTE KUJUTADA!
Hea näide matemaatika võimsusest on see, kui millestki peab leidma ruutjuure, aga see miski on negatiivne. Siin saab jälle matemaatika (idee) aidata. Paneme sellele võimatule asjale siis nimeks näiteks j. Kuna j * j = –1 ehk ümberpöörd, siis ilmselt j-ga korrutamine tähendab ‘vasak pool’ ning 4 korda ‘vasak pool’ teeb ringi täis ehk tegemist on pöörlemisega. Loomulikult võib oodata ka seost arvuga π ja loomulikult nii see ka on (üks kuulsamaid matemaatika avaldisi exp (2jπ)=1).
Kokkuvõtteks
Matemaatikat ei ole vaja ainult matemaatikatunnis, vaid ka füüsikas, keemias, geograafias, muusikas, majanduses ja igapäevaelus. Selle seose tajumine ei peaks olema õpilasele mitte ainult loomulik, vaid ka hädavajalik. Näiteks kui kellegi geograafiaülesande lahendus on vale viimase matemaatilise tehte tõttu, siis võib-olla ei peakski geograafia osa alla hindama, küll aga peaks matemaatikasse selle kohta infot minema.
Matemaatika jagamine kitsaks ja laiaks on narrus, neid laiusi võiks olla just nii palju, kui on õppureid (kui tahame, et inimene õpiks, mitte et saaks riigieksamil ühe punkti). Avardagem matemaatika õppimist nii, et kõik saaksid nii palju või vähe, kui nende võimetele ja huvidele sobib.
Matemaatika õppimiseks on veebikeskkond vist küll võimalikest parim – olen seda näinud juba aastaid! Veebis saab anda väga lihtsalt täiendavaid arendavaid ülesandeid neilegi, kellel on praeguse laia matemaatikaga igav.
Repetitio est mater studiorum. Mälestus elust: prodekaan küsis, miks te lasete tudengil sellist ülesannet lahendada, ta on seda juba minu aines teinud? Vastus oli: jah, aga näe, ta ei oska, on ära unustanud.
Kas on võimalik matemaatikat uut moodi õpetada? Kuna olen sellega aastaid kokku puutunud, võin kinnitada, et julge hundi rind on rasvane.
Vanasti räägiti imaginaarühikust i; siis loeti, et i^2=-1.
Muidugi, vahet ei ole, kuidas tähistada, aga ikkagi oleks vist mõistlikum jääda standardse käsitluse juurde?